გაკოტრების რისკი
მთელი სათამაშო ბიუჯეტის წაგების ალბათობა მიზნის მიღწევამდე.
თანაბარი გადახდის ფსონებზე გაკოტრების რისკი მოთამაშის გაკოტრების ფორმულას მისდევს. $500-იანი სათამაშო ბიუჯეტით, $10-იანი ფსონებით და $600-იანი მიზნით მიზანს შემთხვევათა დაახლოებით 57%-ში აღწევთ, დანარჩენში კი კოტრდებით.
კითხვა
თქვენ გაქვთ a ერთეულიფულიერთეულისაბაზისო ფსონი, რომლითაც სისტემა ან მოთამაშე მუშაობს. პროგრესიები ერთეულებში აღიწერება, რომ ნებისმიერ მაგიდაზე გამოდგეს.წაიკითხეთ სრულად → სათამაშო ბიუჯეტიფულისათამაშო ბიუჯეტითამაშისთვის გამოყოფილი მთლიანი თანხა. სათამაშო ბიუჯეტის მართვა ნიშნავს იმის გადაწყვეტას, რა ნაწილს რისკავთ ერთ ფსონზე და ერთ სესიაზე.წაიკითხეთ სრულად → და გსურთ a + b ერთეულს მიაღწიოთ, თითო ჯერზე ერთ ერთეულს დებთ თანაბარი გადახდის ფსონზეფსონითანაბარი გადახდის ფსონიწითელი/შავი, კენტი/ლუწი, მაღალი/დაბალი. 18 ნომერი, იხდის 1:1.წაიკითხეთ სრულად → მოგების ალბათობითმათემატიკაალბათობაშედეგის შანსი, 0-დან 1-მდე ან 0%-დან 100%-მდე. ერთი ნომერი: 1/37 = 2,70%.წაიკითხეთ სრულად → p = 18/37 და წაგების ალბათობით q = 19/37. რა შანსი გაქვთ, რომ მიზანს მიაღწევთ, სანამ ნულზე ჩამოხვალთ? პასუხი პასკალმა, ფერმამ და ჰიუგენსმა 1650-იან წლებში გამოთვალეს და ეს ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი უძველესი შედეგია.
მოთამაშის გაკოტრების ფორმულა
P(მიზნის მიღწევა) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). გაკოტრების რისკიმათემატიკაგაკოტრების რისკიმთელი სათამაშო ბიუჯეტის წაგების ალბათობა მიზნის ან ბრუნების რაოდენობის მიღწევამდე.წაიკითხეთ სრულად → ერთს გამოკლებული ეს სიდიდეა. q/p = 19/18 ≈ 1,0556-ის დროს თანაფარდობა ერთეულების რაოდენობასთან ერთად ექსპონენციალურად იზრდება, ამიტომ ფორმულა მცირე ერთეულებს მკაცრად სჯის: რაც მეტი ფსონია საჭირო მიზნამდე, მით უფრო ხშირად იხდით გზაში 2,70%-იან გადასახადს.
როგორ წავიკითხოთ
მცირე ერთეულები ზიანს აყენებს. $500-ის გაორმაგების მცდელობა $10-იანი ფსონებით შემთხვევათა 6%-ში ხერხდება; ერთი $500-იანი ფსონით – 48,6%-ში. თამამი თამაში, ნაკლები და უფრო დიდი ფსონები, უარყოფითი მოლოდინის თამაშში მიზნის მიღწევის შანსს მაქსიმუმამდე ზრდის, რადგან მინიმუმამდე ამცირებს, რამდენჯერ მოქმედებს უპირატესობა. ის ასევე მაქსიმუმამდე ზრდის თქვენთვის მომხდარის დისპერსიასმათემატიკადისპერსიასაზომი იმისა, რამდენად ფართოდ არის შედეგები მოსალოდნელი მნიშვნელობის გარშემო გაფანტული. დიდია ერთ ნომერზე ფსონისთვის, მცირე – თანაბარი გადახდის ფსონებისთვის.წაიკითხეთ სრულად → და საღამოს სწრაფად ამთავრებს. თეორემას ჰქვია „თამამი თამაში ოპტიმალურია“ და ის დუბინსმა და სევიჯმა 1965 წელს დაამტკიცეს.
საიდან დაიწყო ამოცანა
კითხვა რულეტკაზე ძველია. 1656 წელს პასკალმა ფერმას ამოცანა დაუსვა: ორი მოთამაშე სამ კამათელს აგორებს, თითოეულს თავიდან 12 ქვა აქვს; 11-ის გაგორება ერთ ქვას ერთი მიმართულებით გადაიტანს, 14-ისა – მეორე მიმართულებით. ორივემ ამოხსნა, და ჰიუგენსმა, რომელმაც ამის შესახებ მათემატიკოს პიერ დე კარკავის წერილიდან გაიგო, ის 1657 წელს ალბათობის შესახებ პირველი წიგნის მეხუთე ამოცანად დაბეჭდა, პასუხით და დამტკიცების გარეშე. თერთმეტი შეიძლება გაგორდეს 27 გზით, თოთხმეტი კი მხოლოდ 15 გზით, ამიტომ ყოველი ქვა პირველი მოთამაშის მხარეს 14-დან 9-ჯერ გადაადგილდება, და ზემოთ მოცემული ფორმულა, თითოეულისთვის 12 ქვით, მის შანსს, რომ ყველაფერი მოიგოს, დაახლოებით 1157-ჯერ უფრო მაღალს ხდის, ვიდრე ყველაფრის წაგების შანსს. 2,70%-იანი უპირატესობა გაცილებით მცირეა, მაგრამ იგივე ფორმულა აჩვენებს, რას აკეთებს ის მრავალ ფსონზე.
ნამდვილი თამამი ფსონი
2004 წლის აპრილში ეშლი რეველმა, ახალგაზრდა ინგლისელმა, თითქმის ყველაფერი გაყიდა, რაც გააჩნდა, ტანსაცმლის ჩათვლით, და $135 300 ლას-ვეგასის Plaza-ში წაიღო. რამდენიმე მცირე ფსონის შემდეგ მთელი თანხა წითელზეფსონიწითელითანაბარი გადახდის ფსონი 18 წითელ ნომერზე. ფრანგულად: rouge.წაიკითხეთ სრულად → დადო, ერთხელ. ბურთულააღჭურვილობაბურთულაპატარა ბურთულა, რომელსაც ბილიკზე როტორის საწინააღმდეგოდ უშვებენ. თანამედროვე ბურთულები ივორინისაა ან ტეფლონის, 18–21 მმ.წაიკითხეთ სრულად → წითელ 7-ზე გაჩერდა და ის $270 600-ით წავიდა. ორმაგი ნულისბორბალინულიერთადერთი მწვანე უჯრა, რომელსაც არცერთი თანაბარი გადახდის, დუჟინის ან სვეტის ფსონი არ ფარავს; კაზინოს უპირატესობის წყარო. სხვაგვარად: ერთი ნული, 0.წაიკითხეთ სრულად → მქონე ბორბალზე ეს ერთი ბრუნი 47,37%-იანი შანსი იყო და მას საშუალოდ $7121 დაუჯდა – 5,26%-იანი უპირატესობა ერთ ფსონზე. $10-იან ფსონებად დანაწილებით იგივე მიზანი თითქმის უიმედო იქნებოდა. თამამი თამაში ფსონს კარგს არ ხდის; ის მას რაც შეიძლება მოკლეს ხდის.
გაკოტრების რისკი მიზნის გარეშე
თუ უბრალოდ თამაშობთ, სანამ არ გაკოტრდებით, ან N ბრუნის შემდეგ ჩერდებით, კითხვა ასეთი ხდება: „რა შანსია, რომ ჩემი სათამაშო ბიუჯეტი N ბრუნის განმავლობაში ნულს შეეხება?“. ზოგადი N-ისთვის ჩაკეტილი ფორმულა არ არსებობს, მაგრამ ამ საიტის სიმულატორები ამას ითვლიან: $500-იანი სათამაშო ბიუჯეტი $10-ით წითელზე 100 ბრუნში თითქმის არასოდეს კოტრდება (1%-ზე ნაკლები), 500 ბრუნში კოტრდება შემთხვევათა დაახლოებით 9%-ში, 5000-ში კი დაახლოებით 95%-ში. გაჩერების წესის გარეშე ალბათობა 100%-ისკენ მიისწრაფვის, და ეს კაზინოს უპირატესობისმათემატიკაკაზინოს უპირატესობაყოველი ფსონის წილი, რომელსაც კაზინო საშუალოდ იტოვებს: ევროპულ რულეტკაში 2,70%.წაიკითხეთ სრულად → გრძელი დისტანციის ვერსიაა.
- p10 −$500
- p25 −$500
- მედიანა −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
რამდენ ხანს და რამდენით პლიუსში
კიდევ ორი კლასიკური შედეგი პასუხობს კითხვებს, რომლებსაც მოთამაშეები მართლაც სვამენ. მიზნის გარეშე ფიქსირებული თანაბარი გადახდის ფსონები ევროპულ ბორბალზე საშუალოდ 37 ბრუნს ძლებს სათამაშო ბიუჯეტის ყოველ ერთეულზე, ამერიკულზე კი 19-ს, რადგან ყოველი ბრუნი საშუალოდ ერთეულის 1/37-ს იღებს (ამერიკულ ბორბალზე 1/19-ს): 100 ერთეული საშუალოდ 3700 ბრუნს ძლებს, თუმცა ასეთი სესიების ნახევარი 3134 ბრუნში მთავრდება (იხ. „სესიის ხანგრძლივობა და ფასი“). და რაც არ უნდა დიდი იყოს სათამაშო ბიუჯეტი, ევროპულ ბორბალზე ოდესმე k ერთეულით პლიუსში ყოფნის შანსია (18/19)ᵏ. ეს არის 95% ერთი ერთეულისთვის და 58% ათისთვის, მაგრამ ვერცერთი სათამაშო ბიუჯეტი, რაც არ უნდა ღრმა იყოს, ვერ იძლევა თანაბარ შანსს, რომ ოდესმე 13 ერთეულით პლიუსში აღმოჩნდეთ; ამერიკულ ბორბალზე შანსია (9/10)ᵏ და 7 ერთეულზე ნახევარზე ქვემოთ ეცემა.
სესიის ხანგრძლივობა და ფასიამერიკული რულეტკა: ბორბალი და წესები
სათამაშო ბიუჯეტი ორმოცდაათი-ორმოცდაათზე შანსისთვის
შეაბრუნეთ კითხვა: რამდენი უნდა მოიტანოთ, რომ სულ მცირე ორმოცდაათი-ორმოცდაათზე შანსი გქონდეთ, მოიგოთ მოცემული თანხა, სანამ ყველაფერს წააგებთ? მცირე მოგებისთვის – ბევრი არა. უფრო დიდისთვის საჭირო სათამაშო ბიუჯეტი ციცაბოდ იზრდება, გარკვეული ზღვრის მიღმა კი არცერთი ბიუჯეტი არ კმარა, რადგან უსასრულოც კი ორმოცდაათი-ორმოცდაათზე ნაკლებ შანსს იძლევა, რომ ოდესმე ამდენით პლიუსში აღმოჩნდეთ. ტეილორი (2021) ამას სხვაგვარად ამბობს: ამერიკულ ბორბალზე 100 ერთეულამდე მიღწევის ორმოცდაათი-ორმოცდაათზე შანსისთვის 94-ით უნდა დაიწყოთ – 94-ის რისკი 6-ის მოსაგებად. ევროპულ ბორბალზე 88 დაგჭირდებოდათ.
პრაქტიკული გაკვეთილი
გადაწყვიტეთ, რას ცდილობთ. თუ მიზანი კონკრეტული მოგებაა, დადეთ დიდი და ცოტა. თუ მიზანი გრძელი საღამოა, დადეთ მცირე და შეეგუეთ, რომ უპირატესობა დიდი ფსონების ბრუნვიდანფულიფსონების ბრუნვასესიის ან პერიოდის განმავლობაში ფსონებზე დადებული მთლიანი თანხა, ხელახლა დადებული მოგების ჩათვლით. სხვაგვარად: handle, action.წაიკითხეთ სრულად → თავის 2,70%-ს აიღებს. თუ მიზანი ორივეა, რაღაცით მოგიწევთ დათმობა, და ჩვეულებრივ ეს მიზანია.
ფორმულა
კითხვები
მარტინგეილისტრატეგიამარტინგეილიპროგრესია, რომელიც ყოველი წაგების შემდეგ ფსონს აორმაგებს. იხილეთ სტრატეგიების განყოფილება იმის შესახებ, რას აკეთებს და რას არ აკეთებს ის.წაიკითხეთ სრულად → მას მოკლე სესიებისთვის ამცირებს, გრძელისთვის კი მკვეთრად ზრდის. ფიქსირებული ფსონისტრატეგიაფიქსირებული ფსონიყოველ ბრუნზე ერთი და იმავე თანხის დადება. საბაზისო ხაზი, რომელსაც ყოველ პროგრესიას ადარებენ.წაიკითხეთ სრულად → უფრო დიდი ერთეულით მისი შემცირების პატიოსანი გზაა.
ზემოთ მოცემული ფორმულა თანაბარი გადახდისთვისაა. დიდი დისპერსიის ფსონებზე მცირე ფსონის თანხებით გაკოტრება უფრო სავარაუდოა და მიზანი უფრო ნახტომისებურად მიიღწევა; გამოიყენეთ კალკულატორი.
მიზნისკენ ყოველი ნაბიჯი ოდნავ ნაკლებად სავარაუდოა, ვიდრე გაკოტრებისკენ ყოველი ნაბიჯი; თანაფარდობა ნაბიჯების რაოდენობაზე გროვდება.
მათემატიკით გართობა
ჯერ თავად სცადეთ. ყოველი ამოხსნა დაკეცილია; გახსენით, როცა მზად იქნებით.
გაქვთ $100 და გინდათ $1000 გქონდეთ, ფსონს მხოლოდ წითელზეფსონიწითელითანაბარი გადახდის ფსონი 18 წითელ ნომერზე. ფრანგულად: rouge.წაიკითხეთ სრულად → დებთ. პირველი გეგმა: ყოველ ჯერზე $1. მეორე გეგმა: დადეთ მთელი თანხა, სანამ $500-ს არ გადააჭარბებთ, შემდეგ კი ზუსტად იმდენი, რამდენიც $1000-მდე გაკლიათ. რომელი გეგმაა უკეთესი და რამდენით?
ნახეთ ამოხსნა
პასუხი მეორე, ბევრად. ის $1000-ს შემთხვევათა დაახლოებით 9,0%-ში აღწევს, სამართლიან 10%-თან ახლოს. პირველი გეგმა წარმატებას დაახლოებით 10²²-დან 7-ჯერ აღწევს.
სამართლიან თამაშშიმათემატიკასამართლიანი თამაშითამაში, რომელშიც არცერთ მხარეს არ აქვს უპირატესობა: ყოველი ფსონის მოსალოდნელი მნიშვნელობა ნულია.წაიკითხეთ სრულად → $100-დან $1000-ს ათიდან ერთხელ მიაღწევდით, რაც არ უნდა გაგეკეთებინათ, რადგან თქვენი ფულის საშუალო მნიშვნელობა $100-ზე რჩება.
უპირატესობა ყოველი ფსონის 2,70%-ს იღებს, ამიტომ რაც ნაკლებს დებთ ჯამში, მით უფრო ახლოს რჩებით ათიდან ერთთან. მეორე გეგმა საქმეს რამდენიმე ფსონში წყვეტს: $100 ხდება $200, $400, $800, შემდეგ კი $200 საკმარისია. ის წარმატებას შემთხვევათა დაახლოებით 9,0%-ში აღწევს. პირველ გეგმას ათასობით ფსონი სჭირდება, სანამ ხეტიალი დასრულდება, და უპირატესობა, თითოეულ ფსონზე მცირე, თითქმის გარდაუვალ გაკოტრებამდე იკრიბება.
ეს დუბინსისა და სევიჯის შედეგია უმარტივესი ფორმით (ეპსტაინი, 2013): თამაშში, რომელიც კაზინოს სასარგებლოა, დადეთ იმდენი, რამდენიც გჭირდებათ, და რაც შეიძლება ცოტაჯერ.
გაქვთ $500 და გინდათ $1000 გქონდეთ, და თამაშს წყვეტთ, როგორც კი ამას მიაღწევთ. ირჩევთ ერთი სახის ფსონს და იმეორებთ, სანამ ერთხელ არ მოიგებს ან ფული არ გამოგელევათ. რომელი სახის ფსონი იძლევა საუკეთესო შანსს?
ნახეთ ამოხსნა
პასუხი ერთი $500-იანი ფსონი წითელზე: 48,6%. ყოველი გეგმა, რომელიც ფულს უფრო მცირე ფსონებზე ანაწილებს, უარეს შედეგს იძლევა.
ყოველი ფსონის თანხა ისე აირჩიეთ, რომ ერთი მოგება საკმარისი იყოს: $30 ერთ ნომერზე ფსონითფსონიერთ ნომერზე ფსონიერთი ნომერი, იხდის 35:1.წაიკითხეთ სრულად → იგებს $1050-ს, $60 სპლიტზეფსონისპლიტიორი მეზობელი ნომერი, იხდის 17:1.წაიკითხეთ სრულად → – $1020-ს და ა.შ. შემდეგ დათვალეთ შანსი, რომ ერთი ფსონი მაინც მოიგებს, სანამ ფული გამოგელევათ. თექვსმეტივე $30-იანი ერთ ნომერზე ფსონი აცდება (36/37)¹⁶ = 64,5% შანსით, ასე რომ ისინი $1000-ს შემთხვევათა 35,5%-ში აღწევს.
ცხრილი თითოეულ ფსონს აჩვენებს. წითელი საუკეთესოა, რადგან მიზანს ერთი ფსონით აღწევს, ასე რომ უპირატესობა ერთხელ იხდება, $500-ზე. სიქს-ლაინიფსონისიქს-ლაინიექვსი ნომერი ორ მეზობელ რიგში, იხდის 5:1. ფრანგულად: sixain.წაიკითხეთ სრულად → მეორეა, რადგან მხოლოდ სამი ფსონი სჭირდება. ერთი დუჟინზეფსონიდუჟინი1–12, 13–24 ან 25–36, იხდის 2:1.წაიკითხეთ სრულად → ფსონი ყველაზე ცუდია, 12/37 შანსი; $250-იანი ერთეულებითფულიერთეულისაბაზისო ფსონი, რომლითაც სისტემა ან მოთამაშე მუშაობს. პროგრესიები ერთეულებში აღიწერება, რომ ნებისმიერ მაგიდაზე გამოდგეს.წაიკითხეთ სრულად → თამაშითაც კი, სანამ $1000 ან მეტი არ გექნებათ, დუჟინი მიზანს მხოლოდ შემთხვევათა 46,4%-ში აღწევს.
ბოლმანი (2024) იმავე ცხრილს ამერიკული ბორბლისთვის აგებს. მის დუჟინის სტრიქონში შეცდომაა: უნდა ეწეროს 12/38 = 31,6%.
ფსონიფსონის თანხა × ფსონების რაოდენობა$1000-მდე მიღწევის შანსიერთ ნომერზე ფსონი$30 × 1635,5%სპლიტი$60 × 835,9%სტრიტი$90 × 534,5%კუთხე$125 × 436,7%სიქს-ლაინი$166, $166, $16841,2%დუჟინი$500 × 132,4%წითელი$500 × 148,6%ერთ ერთეულს დებთ წითელზე, ბრუნი ბრუნის შემდეგ, სათამაშო ბიუჯეტითფულისათამაშო ბიუჯეტითამაშისთვის გამოყოფილი მთლიანი თანხა. სათამაშო ბიუჯეტის მართვა ნიშნავს იმის გადაწყვეტას, რა ნაწილს რისკავთ ერთ ფსონზე და ერთ სესიაზე.წაიკითხეთ სრულად →, რომელიც არასოდეს გამოგელევათ. პირველი ბრუნის შემდეგ ერთი ერთეულით პლიუსში ან მინუსში ხართ. რა შანსია, რომ ოდესმე ისევ ზუსტად ნულოვან შედეგზე იქნებით?
ნახეთ ამოხსნა
პასუხი 37-დან 36, 97,3%. ამერიკულ ბორბალზე 38-დან 36, 94,7%.
თუ პირველი ბრუნი იგებს (37-დან 18-ჯერ), ერთი ერთეულით პლიუსში ხართ, უპირატესობა კი ყოველ უსასრულო სესიას ქვემოთ ეწევა, ასე რომ ადრე თუ გვიან ისევ ნულოვან შედეგზე გაივლით: ეს გარდაუვალია. თუ აგებს (37-დან 19-ჯერ), ერთი ერთეულით უნდა ამოხვიდეთ, შანსი კი, რომ ოდესმე ერთი ერთეულით პლიუსში იქნებით, 18/19-ია (იხ. ზემოთ მოცემული ცხრილი).
ერთად: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
ზოგადად შანსი არის 1 გამოკლებული ბრუნის მოგებისა და წაგების შანსებს შორის სხვაობა: 1 − 1/37 ევროპულ ბორბალზე, 1 − 2/38 – ამერიკულზე. ნულისბორბალინულიერთადერთი მწვანე უჯრა, რომელსაც არცერთი თანაბარი გადახდის, დუჟინის ან სვეტის ფსონი არ ფარავს; კაზინოს უპირატესობის წყარო. სხვაგვარად: ერთი ნული, 0.წაიკითხეთ სრულად → გარეშე თამაშში სხვაობა არ არის და შანსი 1-ია: ანგარიში ყოველთვის ნულს უბრუნდება. ეპსტაინი (2013) ზოგად წესს იძლევა.
პასკალის 1656 წლის ამოცანა: ორი მოთამაშე სამ კამათელს აგორებს, თითოეულს თავიდან 12 ქვა აქვს. ყოველი 11 ერთ ქვას პირველ მოთამაშეს გადასცემს, ყოველი 14 – მეორეს; სხვა გაგორებები არ ითვლება. რამდენად სავარაუდოა, რომ პირველი მოთამაშე 24-ვე ქვას მოიგებს? ხოლო თუ ამის ნაცვლად ყოველ ბრუნზე 1 ერთეულს დებთ წითელზე მეგობართან, რომელიც ბანკის როლს ასრულებს, და თითოეულს 12 ერთეული აქვს, რამდენად სავარაუდოა, რომ 24-ვე ერთეულს მოიგებთ?
ნახეთ ამოხსნა
პასუხი პირველი მოთამაშე დაახლოებით 1158-დან 1157-ჯერ იგებს. თქვენ, წითელზე, 24-ვე ერთეულს მხოლოდ შემთხვევათა დაახლოებით 34%-ში იგებთ.
სამი კამათელი 11-ს 27 გზით იძლევა, 14-ს კი 15 გზით, ასე რომ ყოველი გადასული ქვა პირველ მოთამაშესთან 42-დან 27-ჯერ მიდის, ანუ 14-დან 9-ჯერ. როცა თითოეული მხარე 12-ით იწყებს, ყველაფრის მოგების შანსია 1/(1 + r¹²), სადაც r არის მეორე მხარის შანსის შეფარდება თქვენსაზე.
პირველი მოთამაშისთვის r = 5/9, და (5/9)¹² ≈ 0,00086, ასე რომ შანსი დაახლოებით 0,99914-ია: შანსები 9¹² 5¹²-ზე, ანუ 282 429 536 481-ის შეფარდება 244 140 625-თან, დაახლოებით 1157 1-ზე. ჰიუგენსმა ზუსტად ეს რიცხვები 1657 წელს გამოაქვეყნა.
წითელზე r = 19/18 ნულის გამო, და (19/18)¹² ≈ 1,913: თქვენი შანსია 1/2,913 ≈ 34,3%. მონეტა 50%-ს მოგცემდათ. ყოველ ფსონზე 2,70%-იანი უპირატესობა იმ მრავალ ფსონზე, რომელიც ამას სჭირდება, 16-პუნქტიან სხვაობამდე იკრიბება.
ცოტა იუმორი
თამამი თამაში ოპტიმალურია. ის სწრაფადაც მთავრდება.
წყაროები
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. ჰიუგენსისადმი მიწერილი წერილი, 1656 წლის 28 სექტემბერი, ამოცანის შესახებ, რომელიც პასკალმა ფერმას დაუსვა.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. „Briton bets it all on roulette spin, and wins.“
- Las Vegas Sun. „Man wagers life’s worth.“