ამოცანა: მაგიდის ლიმიტი
$10-იანი მარტინგეილი $500-იან მაგიდასთან. რამდენად ხშირად იშლება ის, რამდენს აგებს, როცა იშლება, და შველის თუ არა ლიმიტის გაზრდა?
ზედიზედ ექვსი წაგება მას ანგრევს: 1,8% ციკლზე, 100-ბრუნიანი სესიების დაახლოებით 60%. ჩაშლა $630 ჯდება. ლიმიტის $5000-მდე გაზრდა ჩაშლას იშვიათს (0,25% ციკლზე) და უფრო დიდს ($5110) ხდის. მოსალოდნელი წაგება ფსონზე დადებულ ყოველ დოლარზე ნებისმიერი ლიმიტისას 2,70%-ია.
ამოცანა
მოთამაშე $10-ს დებს წითელზეფსონიწითელითანაბარი გადახდის ფსონი 18 წითელ ნომერზე. ფრანგულად: rouge.წაიკითხეთ სრულად → და ყოველი წაგების შემდეგ ფსონს აორმაგებს, მოგების შემდეგ კი თავიდან იწყებს. მაგიდის მაქსიმუმი $500-ია. (ა) ზედიზედ რამდენი წაგება ანგრევს პროგრესიასსტრატეგიაპროგრესიანებისმიერი წესი, რომელიც ფსონის თანხას წინა შედეგების მიხედვით ცვლის. უარყოფითი პროგრესიები მას წაგებების შემდეგ ზრდის, დადებითი – მოგებების შემდეგ.წაიკითხეთ სრულად →? (ბ) რა არის ამის ალბათობამათემატიკაალბათობაშედეგის შანსი, 0-დან 1-მდე ან 0%-დან 100%-მდე. ერთი ნომერი: 1/37 = 2,70%.წაიკითხეთ სრულად → ციკლზე? (გ) რა იკარგება ჩაშლისას? (დ) როგორ ცვლის პასუხებს $5000-იანი ლიმიტი? (ე) ხდის თუ არა რომელიმე ლიმიტი სისტემას მომგებიანს?
ამოხსნები (ა)–(გ)
ფსონები: 10, 20, 40, 80, 160, 320. მეშვიდე იქნებოდა 640 > 500, ამიტომ ექვსი წაგება მას ანგრევს. (ბ) p(წაგება) = 19/37 წითელზე; (19/37)⁶ = 0,0183, დაახლოებით 1,8% ციკლზე. ციკლი საშუალოდ დაახლოებით ორ ბრუნს გრძელდება, ამიტომ 100-ბრუნიან სესიაში დაახლოებით 50 ციკლია და p(ერთი ჩაშლა მაინც) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (გ) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, ანუ 63 საბაზისო ერთეულიფულიერთეულისაბაზისო ფსონი, რომლითაც სისტემა ან მოთამაშე მუშაობს. პროგრესიები ერთეულებში აღიწერება, რომ ნებისმიერ მაგიდაზე გამოდგეს.წაიკითხეთ სრულად →, იმ $10-ის პირისპირ, რომლის მოგებასაც ციკლი ცდილობდა.
ამოხსნა (დ)
$5000-ისას: 2560-მდე ფსონები დაშვებულია; მეათე ფსონს, 5120-ს, უარს ეუბნებიან. ცხრა წაგება მას ანგრევს: (19/37)⁹ ≈ 0,25% ციკლზე, 100-ბრუნიანი სესიების დაახლოებით 11%. წაგება ჩაშლისას: 10 + 20 + … + 2560 = $5110. მოთამაშემ უფრო იშვიათი კატასტროფა უფრო დიდის ფასად იყიდა. ბევრ სესიაზე ჩაშლების მოსალოდნელი ფასია p × წაგება ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 ციკლზე $500-იანი ლიმიტისას და 0,0025 × 5110 = $12,8 $5000-ისას; დამრგვალების სიზუსტით ეს ერთი და იგივე რიცხვია, და ის ციკლის მოსალოდნელი წაგებაამათემატიკამოსალოდნელი წაგებამოსალოდნელი მნიშვნელობა გამრავლებული ფსონებზე დადებულ მთლიან თანხაზე; საშუალოდ წაგებული თანხა სესიის ან პერიოდის განმავლობაში.წაიკითხეთ სრულად →, გამოკლებული ის $10, რომელსაც მომგებიანი ციკლები შოულობს.
ამოხსნა (ე)
არა. მოსალოდნელი წაგება ციკლზე = (ციკლში ფსონების მოსალოდნელი ჯამური თანხა) / 37, ნებისმიერი ლიმიტისას, რადგან ყოველი ფსონი თავისი თანხის −1/37-ია. ლიმიტი მხოლოდ იმას წყვეტს, როგორ ნაწილდება წაგება ბევრ მცირე მოგებასა და ცოტა დიდ წაგებას შორის. ლიმიტის გარეშე და უსასრულო სათამაშო ბიუჯეტითფულისათამაშო ბიუჯეტითამაშისთვის გამოყოფილი მთლიანი თანხა. სათამაშო ბიუჯეტის მართვა ნიშნავს იმის გადაწყვეტას, რა ნაწილს რისკავთ ერთ ფსონზე და ერთ სესიაზე.წაიკითხეთ სრულად → პროგრესია „იმუშავებდა“ იმ გაგებით, რომ არასოდეს ჩაიშლებოდა, და ამასთან ფსონებზე შეუზღუდავ თანხას დადებდა, ამ შეუზღუდავი თანხის 2,70%-იანი მოსალოდნელი წაგებით. მარტინგეილსსტრატეგიამარტინგეილიპროგრესია, რომელიც ყოველი წაგების შემდეგ ფსონს აორმაგებს. იხილეთ სტრატეგიების განყოფილება იმის შესახებ, რას აკეთებს და რას არ აკეთებს ის.წაიკითხეთ სრულად → მუშაობაში მაგიდის ლიმიტიმაგიდამაგიდის ლიმიტიდაშვებული მინიმალური და მაქსიმალური ფსონი. მაქსიმუმი არის ის, რაც გაორმაგების პროგრესიებს აჩერებს.წაიკითხეთ სრულად → არ უშლის ხელს. არითმეტიკა უშლის.
ორი ნამდვილი მაგიდა
თორპის მაგალითია $1-იანი მაგიდა $1000-იანი მაქსიმუმით, სადაც მოთამაშე იმედოვნებს, რომ ვახშმისთვის $30-ს თითო დოლარით მოიგებს. ფსონები 1, 2, 4 … 512 ათ ფსონს უშვებს, ამიტომ ზედიზედ ათი წაგება პროგრესიას ანგრევს: 785 ციკლში ერთხელ ევროპულ ბორბალზე (613-ში ერთხელ ამერიკულზე), $1023-ის ფასად. ოცდაათივე ციკლი წარმატებით მთავრდება შემთხვევების 96,2%-ში. დანარჩენი 3,8% დაახლოებით $1000-ს აგებს, საღამოს საშუალო შედეგი კი −$9,17-ია, რაც ზუსტად იმ $339-ის 1/37-ია, რომელსაც ოცდაათი ციკლი საშუალოდ ფსონებზე დებს. $5-იანი მაგიდა $2000-იანი მაქსიმუმით არაფრით განსხვავდება: $1280-მდე ფსონები ცხრა ფსონს უშვებს, ჩაშლა კი 403 ციკლში ერთხელ მოდის ევროპულ ბორბალზე (323-ში ერთხელ ამერიკულზე) და $2555 ჯდება.
მდიდარი მოთამაშე
მივცეთ პროგრესიას დაბალი ლიმიტის ნაცვლად ღრმა სათამაშო ბიუჯეტი: 1000 ერთეული, ერთერთეულიანი საბაზისო ფსონი და 1000 ბრუნი წითელზე, ერთი ერთეულიდან ხელახლა დაწყებით ყოველთვის, როცა შემდეგი გაორმაგება დარჩენილ თანხაზე მეტია. ჩვენ მილიონი ასეთი საღამოს სიმულაცია ჩავატარეთ. ევროპულ ბორბალზე 52% პლიუსში მთავრდება, 21% ყველაფერს აგებს, საშუალო შედეგი კი −124 ერთეულია. თამაშშიც კი, სადაც ნულიბორბალინულიერთადერთი მწვანე უჯრა, რომელსაც არცერთი თანაბარი გადახდის, დუჟინის ან სვეტის ფსონი არ ფარავს; კაზინოს უპირატესობის წყარო. სხვაგვარად: ერთი ნული, 0.წაიკითხეთ სრულად → არ არის და ყოველი ფსონი სამართლიანია, მხოლოდ დაახლოებით 60% დაასრულებდა პლიუსში. ჩვეულებრივი საღამო მცირე მოგებაა; საშუალოს ის საღამოები იხდის, რომლებიც ნულზე მთავრდება.
გაკვეთილი
კაზინოები ლიმიტებს საკუთარი დისპერსიისმათემატიკადისპერსიასაზომი იმისა, რამდენად ფართოდ არის შედეგები მოსალოდნელი მნიშვნელობის გარშემო გაფანტული. დიდია ერთ ნომერზე ფსონისთვის, მცირე – თანაბარი გადახდის ფსონებისთვის.წაიკითხეთ სრულად → შესაზღუდად აწესებენ და არა სისტემების დასამარცხებლად. მარტინგეილის დამარცხება გვერდითი ეფექტია, რომელიც მათ სიამოვნებით აქვთ, და არითმეტიკა მას ისედაც დაამარცხებდა. მოთამაშემ, რომელიც ფიქრობს, რომ პრობლემა ლიმიტია, კლდის ნაპირი იპოვა და ის ფერდობში აერია.
ფორმულა
კითხვები
ის საშუალებას გაძლევთ, უფრო მაღალ ლიმიტამდე გაძლოთ, სადაც ჩაშლა უფრო იშვიათი და უფრო დიდია. მოსალოდნელი წაგება დოლარზე უცვლელია.
ფსონები 10, 30, 70, 150, 310: $500-იან ლიმიტს ხუთი წაგების შემდეგ აწყდებით, ჩაშლა კი $570 ჯდება. იგივე 2,70%.
რომ ერთმა მოთამაშემ ვერ დადოს იმაზე მეტი, რისი გადახდაც კაზინოს რეზერვს თავისუფლად შეუძლია. დისპერსიის მართვა.
მათემატიკით გართობა
ჯერ თავად სცადეთ. ყოველი ამოხსნა დაკეცილია; გახსენით, როცა მზად იქნებით.
მარტინგეილისტრატეგიამარტინგეილიპროგრესია, რომელიც ყოველი წაგების შემდეგ ფსონს აორმაგებს. იხილეთ სტრატეგიების განყოფილება იმის შესახებ, რას აკეთებს და რას არ აკეთებს ის.წაიკითხეთ სრულად → $100-ით იწყება წითელზეფსონიწითელითანაბარი გადახდის ფსონი 18 წითელ ნომერზე. ფრანგულად: rouge.წაიკითხეთ სრულად → და ციკლში არაუმეტეს n ფსონს უშვებს: ზედიზედ n წაგების შემდეგ ის თამაშს წყვეტს და თავიდან იწყებს. ჩაწერეთ ერთი ციკლის საშუალო შედეგი n-ის ფორმულად და გამოთვალეთ ის 5, 6 და 7 ფსონისთვის ევროპულ ბორბალზე.
ნახეთ ამოხსნა
პასუხი საშუალო არის 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 5 ფსონისთვის, −$17,35 6-ისთვის და −$20,52 7-ისთვის. მეტი ფსონის დაშვება საშუალო ციკლს აუარესებს და არა აუმჯობესებს.
ციკლი $100-ს იგებს, გარდა იმ შემთხვევისა, როცა n-ვე ფსონი აგებს, რაც qⁿ შანსით ხდება, სადაც q = 19/37. როცა ყველა აგებს, თანხები 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ ჯამში 100 × (2ⁿ − 1)-ს იძლევა. ასე რომ საშუალოა 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
აქ 2q = 38/37, 1-ზე ოდნავ მეტი, ასე რომ (2q)ⁿ n-თან ერთად იზრდება და საშუალო ეცემა: n = 5 იძლევა 1,1426-ს და −$14,26-ს; n = 6 იძლევა 1,1735-ს და −$17,35-ს; n = 7 იძლევა 1,2052-ს და −$20,52-ს. უფრო გრძელი კიბე ნაკლებად ხშირად აგებს, ციკლების 3,6%-ში, 1,8%-ში და 0,9%-ში, მაგრამ ყოველი წაგება ორჯერ დიდია, და ყოველ ციკლში მაგიდაზე მეტი ფული გადის, ყოველი ფსონის 2,70%-ით.
ამერიკულ ბორბალზე 2q = 40/38 და მაჩვენებლებია −$29,24, −$36,04 და −$43,20 (ტეილორი, 2021). ნულისბორბალინულიერთადერთი მწვანე უჯრა, რომელსაც არცერთი თანაბარი გადახდის, დუჟინის ან სვეტის ფსონი არ ფარავს; კაზინოს უპირატესობის წყარო. სხვაგვარად: ერთი ნული, 0.წაიკითხეთ სრულად → გარეშე თამაშში 2q = 1, და ყოველი ციკლის საშუალო ზუსტად ნულია, რაც არ უნდა გრძელი იყოს კიბე.
„დიდი მარტინგეილი“ წაგების შემდეგ ფსონის თანხას აორმაგებს და ერთ ერთეულსფულიერთეულისაბაზისო ფსონი, რომლითაც სისტემა ან მოთამაშე მუშაობს. პროგრესიები ერთეულებში აღიწერება, რომ ნებისმიერ მაგიდაზე გამოდგეს.წაიკითხეთ სრულად → უმატებს, ასე რომ თანხებია 1, 3, 7, 15, 31 … რამდენით ხართ პლიუსში, თუ პირველი მოგება 1-ელ, მე-2, მე-3 ან k-ურ ფსონზე მოდის? $10-იანი ერთეულითა და $500-იანი მაქსიმუმით რამდენად ხშირად იშლება ციკლი და რა ჯდება ციკლი საშუალოდ?
ნახეთ ამოხსნა
პასუხი k-ურ ფსონზე მოგება k ერთეულით პლიუსში გტოვებთ: +1, +2, +3 და ა.შ. $10-ითა და $500-ით ციკლი ხუთი წაგების შემდეგ იშლება, ციკლების 3,57%-ში, −$570-ით. საშუალოდ ციკლი $85,73 დადებულიდან $2,32-ს აგებს: 2,70%.
k-ური ფსონის თანხა 2ᵏ − 1 ერთეულია: 1, 3, 7, 15, 31. პირველი k − 1 თანხის ჯამია 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. k-ურ ფსონზე მოგება იხდის 2ᵏ − 1-ს, ასე რომ ციკლი მთავრდება (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k ერთეულით პლიუსში: მოგებამდე ყოველ წაგებაზე ერთი დამატებითი ერთეული.
ერთეულად $10-ისას თანხებია $10, $30, $70, $150 და $310; შემდეგი, $630, $500-იან მაქსიმუმს აღემატება. ზედიზედ ხუთი წაგება, (19/37)⁵ = 3,57%, ჯდება 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
საშუალოდ: მოგებებს მოაქვს $10 × k (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 შანსით, k = 1-დან 5-მდე, ჩაშლა კი $570-ს იღებს 3,57% შანსით; ერთად −$2,32. ციკლში დადებული ფული საშუალოდ $85,73-ია, და 2,32/85,73 = 2,70%. ჩვეულებრივი მარტინგეილი იმავე მაგიდაზე ექვსი წაგების შემდეგ იშლება, ციკლების 1,83%-ში, −$630-ით, და $64,20 დადებულიდან $1,74-ს აგებს: ისევ 2,70%.
მოთამაშე გეგმავს მარტინგეილს წითელზე $1-იანი პირველი ფსონით მაგიდასთან, რომლის ლიმიტია $1000, ასე რომ ათი ფსონია შესაძლებელი: $1, $2, $4 და ა.შ. $512-მდე. რამდენად ხშირად აგებს ციკლი ათივეს, რამდენ ხანს მოითხოვს ეს საშუალოდ და რამდენად ხშირად მთავრდება ასე 200 ფსონის საღამო?
ნახეთ ამოხსნა
პასუხი ციკლი ათივეს დაახლოებით 784-ში ერთხელ აგებს, რაც $1023 ჯდება. ეს საშუალოდ დაახლოებით 1600 ფსონია, და 200 ფსონის საღამო კედელს შემთხვევათა დაახლოებით 11%-ში ეჯახება. ციკლი მაინც საშუალოდ $11,31 დადებულიდან $0,31-ს აგებს: 2,70%.
წითელზე ფსონი 19/37 შანსით აგებს, ნულის ჩათვლით. ზედიზედ ათი: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, დაახლოებით 784-ში 1. თანხები 1 + 2 + 4 + … + 512 ჯამში $1023-ს იძლევა.
ციკლს საშუალოდ 2,05 ფსონი სჭირდება, ასე რომ 784 ციკლს დაახლოებით 1600 ფსონი სჭირდება. თუ ბრუნ-ბრუნ დავთვლით, ათი წაგების სერია 200 ფსონში სადმე შემთხვევათა 11,3%-ში გვხვდება.
კატასტროფებს შორის მოთამაშე ციკლზე $1-ს იგებს: დაახლოებით $783 ცუდ ციკლამდე, შემდეგ −$1023, მთელ მონაკვეთზე დაახლოებით −$240. ციკლზე: 1 × (1 − 0,00128) − 1023 × 0,00128 ≈ −$0,31. ციკლზე დადებული ფული: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. და −0,31/11,31 = −2,70%.
შეადარეთ $10-იანი პირველი ფსონი $500-იან ლიმიტთან, ექვსი ფსონი: კედელი 55 ციკლში ერთხელ მოდის, და 200 ფსონის საღამო მას შემთხვევათა 84%-ში ეჯახება. უფრო მაღალი ლიმიტი ჩაშლას უფრო იშვიათს და უფრო დიდს ხდის, მაგრამ არა უფრო იაფს.
ცოტა იუმორი
უფრო იშვიათი და უფრო დიდი, ნებისმიერი ლიმიტისას. ნამრავლი მუდმივია.
წყაროები
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.