კრებადობა გრძელ დისტანციაზე: დიდ რიცხვთა კანონი რულეტკაში
როგორ უახლოვდება საშუალო −2,70%-ს და რატომ სჭირდება ამას იმაზე მეტი დრო, ვიდრე ინტუიცია გვკარნახობს.
ბრუნების დაგროვებასთან ერთად საშუალო წაგება ბრუნზე −1/37-ისკენ კრებადია, გაფანტვა კი 1/√N-ის კვალობაზე მცირდება. წითელზე 1000 ბრუნის შემდეგ საშუალო ჩვეულებრივ თავისი მოსალოდნელი მნიშვნელობიდან ±3%-ის ფარგლებშია.
დიდ რიცხვთა კანონი
დამოუკიდებელი ფსონების მიმდინარე საშუალო მოსალოდნელი მნიშვნელობისკენმათემატიკამოსალოდნელი მნიშვნელობასაშუალო შედეგი ერთ ფსონზე გრძელ დისტანციაზე. ყოველი სტანდარტული ევროპული ფსონისთვის ფსონის თანხის −1/37.წაიკითხეთ სრულად → მიისწრაფვის. ერთი ერთეულისფულიერთეულისაბაზისო ფსონი, რომლითაც სისტემა ან მოთამაშე მუშაობს. პროგრესიები ერთეულებში აღიწერება, რომ ნებისმიერ მაგიდაზე გამოდგეს.წაიკითხეთ სრულად → თანაბარი გადახდის ფსონით N ბრუნის შემდეგ ბრუნზე საშუალო შედეგის მოსალოდნელი მნიშვნელობაა −1/37, სტანდარტული გადახრამათემატიკასტანდარტული გადახრადისპერსიიდან კვადრატული ფესვი; შედეგის ტიპური დაშორება მოსალოდნელი მნიშვნელობიდან.წაიკითხეთ სრულად → კი – 1/√N. N = 100-ისას ეს გაფანტვა ფსონის თანხის 10%-ია, 2,7%-იანი სიგნალის თითქმის ოთხჯერ მეტი. N = 1000-ისას ის 3,2%-ია, დაახლოებით სიგნალის ტოლი. N = 10 000-ისას ის 1%-ია და უპირატესობა აშკარად ჩანს. სესიაში უპირატესობა უხილავია, ერთ წელიწადში კი – შეუცდომლად შესამჩნევი.
რა არის კრებადი და რა – არა
ბრუნზე საშუალო კრებადია. ჯამი – არა: N-ის ზრდასთან ერთად ის ნულს სულ უფრო შორდება, მოსალოდნელად დაახლოებით N-ის 2,7%-ით, ამ მნიშვნელობის ირგვლივ √N გაფანტვით. მოთამაშეს, რომელმაც $10-იანი ფსონებით 10 000 ბრუნი ითამაშა, მოსალოდნელად $2700 აქვს წაგებული, პლუს-მინუს $1000. წითლებისფსონიწითელითანაბარი გადახდის ფსონი 18 წითელ ნომერზე. ფრანგულად: rouge.წაიკითხეთ სრულად → მიმდინარე წილი დიდი ხანია 48,65%-ის ახლოს დადგა; მიმდინარე ბალანსი კი არსად დამდგარა.
- p10 −$440
- p25 −$280
- მედიანა −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
რატომ ცდება ინტუიცია
ადამიანები ელიან, რომ უპირატესობა სწრაფად გამოჩნდება, რადგან 2,70% ბევრად ჟღერს, და ელიან, რომ გრძელი სერიები „გათანაბრდება“, რადგან დიდ რიცხვთა კანონიმათემატიკადიდ რიცხვთა კანონიდამოუკიდებელი შედეგების საშუალო მოსალოდნელი მნიშვნელობისკენ მიისწრაფვის, როცა ცდების რაოდენობა იზრდება.წაიკითხეთ სრულად → ამბობს, რომ საშუალოები კრებადია. ორივე ინტუიცია მასშტაბს არასწორად აფასებს: უპირატესობა ერთი ბრუნის დისპერსიასთანმათემატიკადისპერსიასაზომი იმისა, რამდენად ფართოდ არის შედეგები მოსალოდნელი მნიშვნელობის გარშემო გაფანტული. დიდია ერთ ნომერზე ფსონისთვის, მცირე – თანაბარი გადახდის ფსონებისთვის.წაიკითხეთ სრულად → შედარებით მცირეა (σ = 1 ერთეული EV = 0,027-ის პირისპირ), ამიტომ ერთი სიგმის დონეზე გამოსაჩენად მას (1/0,027)² ≈ 1400 ბრუნი სჭირდება. საშუალოს კრებადობა კი ჯამს უკან სულაც არ აბრუნებს; ის მხოლოდ წარსულ რყევებს აზავებს.
კრებადობა სხვა ფსონებისთვის
ერთ ნომერზე ფსონისთვისფსონიერთ ნომერზე ფსონიერთი ნომერი, იხდის 35:1.წაიკითხეთ სრულად → σ = 5,84, ამიტომ იგივე გამოთვლა იძლევა (5,84/0,027)² ≈ 47 000 ბრუნს, სანამ უპირატესობა ერთ სიგმას მიაღწევს. ერთ ნომერზე მოთამაშეს შეუძლია წლობით ითამაშოს ისე, რომ საკუთარ ჩანაწერებში უპირატესობა იღბლისგან ვერ გაარჩიოს, თუმცა ის ზუსტად იმავე 2,70%-ს იხდის, რასაც წითელზე მოთამაშე, რომელიც მას რამდენიმე კვირაში ხედავს.
რას ნიშნავს ეს სისტემების შემოწმებისთვის
ვინც ამტკიცებს, რომ სისტემა მუშაობს, უნდა შეეძლოს ეს 10 000 ან მეტ ბრუნზე აჩვენოს, დოკუმენტირებული დადებითი საშუალოთი. 1000 ბრუნზე დადებითი საშუალო თანაბარი გადახდის ფსონზე ნულოვანი ჰიპოთეზის პირობებში ხუთიდან ერთი შემთხვევაა; 100 ბრუნზე ის თითქმის მონეტის აგდებაა. ამ საიტის სიმულატორები თქვენ მიერ არჩეული სიგრძის 2000 სესიას ერთ წამში ატარებს, და ეს ნებისმიერი მოთამაშის ნაამბობზე მეტი მტკიცებულებაა.
ფორმულა
კითხვები
იმის ალბათობამათემატიკაალბათობაშედეგის შანსი, 0-დან 1-მდე ან 0%-დან 100%-მდე. ერთი ნომერი: 1/37 = 2,70%.წაიკითხეთ სრულად →, რომ ოდესმე კვლავ პლიუსში აღმოჩნდებით, თამაშის გაგრძელებასთან ერთად ნულისკენ ეცემა. ჯამი უსაზღვროდ ეშვება ქვევით.
არა. ის ნიშნავს, რომ წარსული რყევები უფრო დიდი შერჩევის სულ უფრო მცირე წილი ხდება.
თანაბარი გადახდის ფსონისთვის – დაახლოებით 10 000, სანამ უპირატესობა აშკარად გამოჩნდება. ერთ ნომერზე ფსონისთვის – დაახლოებით 50 000.
მათემატიკით გართობა
ჯერ თავად სცადეთ. ყოველი ამოხსნა დაკეცილია; გახსენით, როცა მზად იქნებით.
ორი მეგობარი სამართლიან თამაშსმათემატიკასამართლიანი თამაშითამაში, რომელშიც არცერთ მხარეს არ აქვს უპირატესობა: ყოველი ფსონის მოსალოდნელი მნიშვნელობა ნულია.წაიკითხეთ სრულად → 20 რაუნდს თამაშობს – მონეტის აგდებას ან რულეტკას, სადაც ერთი წითელზეფსონიწითელითანაბარი გადახდის ფსონი 18 წითელ ნომერზე. ფრანგულად: rouge.წაიკითხეთ სრულად → დებს, მეორე – შავზეფსონიშავითანაბარი გადახდის ფსონი 18 შავ ნომერზე. ფრანგულად: noir.წაიკითხეთ სრულად →, ნულებისბორბალინულიერთადერთი მწვანე უჯრა, რომელსაც არცერთი თანაბარი გადახდის, დუჟინის ან სვეტის ფსონი არ ფარავს; კაზინოს უპირატესობის წყარო. სხვაგვარად: ერთი ნული, 0.წაიკითხეთ სრულად → დაბრუნებით – და მიმდინარე ანგარიშს აწარმოებს. დათვალეთ რაუნდები, რომელთა განმავლობაშიც თითოეული წინაა (ფრე ითვლება იმის სასარგებლოდ, ვინც უშუალოდ მანამდე იყო წინ). რომელია უფრო სავარაუდო: რომ ლიდერობა 10 რაუნდით 10-ზე გაიყოფა, თუ რომ ერთი მეგობარი 20-ვე რაუნდში იქნება წინ?
ნახეთ ამოხსნა
პასუხი ერთი მეგობრის ლიდერობა 20-ვე რაუნდში ბევრად უფრო სავარაუდოა: 35,2%, ორივე მეგობრის ჩათვლით, თანაბარი 10 10-ზე გაყოფის 6,1%-თან შედარებით.
შანსი, რომ სამართლიანი მიმდინარე ანგარიში 2k რაუნდის შემდეგ თანაბარია, არის u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 10 რაუნდის შემდეგ და 0,176 20-ის შემდეგ. კლასიკური შედეგი, არკსინუსის კანონი, ამბობს, რომ შანსი, რომ დასახელებული მეგობარი 2n რაუნდიდან ზუსტად 2k-ში იქნება წინ, არის u(2k) × u(2n − 2k).
20-ვე რაუნდში ლიდერობა: u(20) × u(0) = 0,176 თითოეული მეგობრისთვის, 35,2% – რომელიმესთვის. თანაბარი გაყოფა: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, ყველაზე ნაკლებად სავარაუდო გაყოფა.
ასე რომ სამართლიან თამაშში ლიდერობა იშვიათად გადადის ხელიდან ხელში. მოთამაშეს, რომელიც მთელი საღამო წინ იყო, ან მთელი საღამო უკან, უჩვეულო არაფერი უნახავს, და ეს არაფერს ამბობს არც ბორბალზე და არც ოსტატობაზე. ეპსტაინი (2013) იმავე კანონს უფრო გრძელი თამაშებისთვის იძლევა: შემთხვევათა ნახევარში უფრო იღბლიანი მხარე თამაშის 85%-ზე მეტ ნაწილში ლიდერობს.
ცოტა იუმორი
საშუალო კრებადია. ჯამი უბრალოდ შორდება.
წყაროები
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.