კელის კრიტერიუმი და რულეტკა
კელის კრიტერიუმი უპირატესობის მქონე მოთამაშეს ეუბნება, რამდენი დადოს. რულეტკისთვის ის მკაფიო პასუხს იძლევა: არაფერი.
კელის ფსონი = უპირატესობა / შანსები. უარყოფითი უპირატესობისას ფორმულა უარყოფით წილს იძლევა, რაც ნიშნავს: ფსონს ნუ დადებთ. კრიტერიუმი მაინც სასარგებლოა იმის გასაგებად, რატომ ირჩევდნენ მიკერძოებაზე მოთამაშეები ფსონის ზომას ისე, როგორც ირჩევდნენ, და რატომ უნდა ირჩევდეს ყველა დანარჩენი ფსონის ზომას ბიუჯეტით.
კრიტერიუმი
ჯონ კელიმ (1956) დასვა კითხვა: როგორ უნდა შეარჩიოს ფსონების ზომა ცნობილი უპირატესობის მქონე მოთამაშემ, რომ სათამაშო ბიუჯეტისფულისათამაშო ბიუჯეტითამაშისთვის გამოყოფილი მთლიანი თანხა. სათამაშო ბიუჯეტის მართვა ნიშნავს იმის გადაწყვეტას, რა ნაწილს რისკავთ ერთ ფსონზე და ერთ სესიაზე.წაიკითხეთ სრულად → ზრდა გრძელ დისტანციაზე მაქსიმალური იყოს. პასუხი ფსონისთვის, რომელიც b 1-ზე იხდის, მოგების ალბათობითმათემატიკაალბათობაშედეგის შანსი, 0-დან 1-მდე ან 0%-დან 100%-მდე. ერთი ნომერი: 1/37 = 2,70%.წაიკითხეთ სრულად → p და წაგების ალბათობით q = 1 − p, ასეთია: დადეთ სათამაშო ბიუჯეტის წილი f* = (bp − q) / b. დადებითი f* ნიშნავს, რომ ეს წილი უნდა დადოთ; ნული ან უარყოფითი – რომ ფსონი არ უნდა დადოთ. კელი Bell Labs-ში მუშაობდა, და მისმა სტატიამ „A new interpretation of information rate“ ამოცანა კლოდ შენონის ინფორმაციის თეორიაში მოათავსა: მოთამაშე, რომელიც მინიშნებებს ხმაურიანი ხაზით იღებს, სამართლიანი შანსებით, სათამაშო ბიუჯეტს საუკეთესო შემთხვევაში იმ სიჩქარით გაზრდის, რა სიჩქარითაც ხაზი ინფორმაციას გადასცემს. 1961 წელს ლეო ბრეიმანმა დაამტკიცა, რომ კელის მიხედვით ფსონების დადება გრძელ დისტანციაზე ნებისმიერ არსებითად განსხვავებულ სტრატეგიას უსწრებს და დასახულ მიზანს დაახლოებით უმოკლეს დროში აღწევს.
კელის მიხედვით ფსონები რულეტკაში
წითლისთვისფსონიწითელითანაბარი გადახდის ფსონი 18 წითელ ნომერზე. ფრანგულად: rouge.წაიკითხეთ სრულად →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. ერთ ნომერზე ფსონისთვისფსონიერთ ნომერზე ფსონიერთი ნომერი, იხდის 35:1.წაიკითხეთ სრულად →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. ყოველი სტანდარტული ფსონი კელის უარყოფით წილს იძლევა, რადგან ყოველ ფსონს უარყოფითი უპირატესობა აქვს, და ზრდისთვის ოპტიმალური ფსონის თანხა ნულია. კელის მიხედვით ფსონები რულეტკაში ფორმალურად იმავეს ამბობს, რასაც გვერდი „კაზინოს უპირატესობა რულეტკაში“: არ არსებობს ზომა, რომლითაც უარყოფითი მოსალოდნელი მნიშვნელობის ფსონი სათამაშო ბიუჯეტს გაზრდის.
სად გამოიყენებოდა კელი სინამდვილეში
მიკერძოებაზე მოთამაშეებს უპირატესობაც ჰქონდათ და ფსონის ზომის პრობლემაც. ჯაგერს, გარსია-პელაიოებს და ევდემონებს ყველას უნდა გადაეწყვიტათ, რამდენი დაედოთ გაზომილ უპირატესობაზე: ზედმეტად მცირე ფსონები უპირატესობას ფლანგავს, ზედმეტად დიდი კი გაკოტრების რისკს ქმნის, სანამ უპირატესობა გამოჩნდება. უჯრისთვისაღჭურვილობაუჯრაროტორზე 37 დანომრილი განყოფილებიდან ერთ-ერთი. სხვაგვარად: ბუდე, ფიალა.წაიკითხეთ სრულად →, რომელიც 30-დან 1-ხელ მოდის, კელი ამბობს: ყოველ ბრუნზე ამ ნომერზე სათამაშო ბიუჯეტის 0,57%. $10 000-ით ეს დაახლოებით $57-ია ბრუნზე, ტიპური ზრდით დაახლოებით 0,054% ბრუნზე, ანუ ×1,7 1000 ბრუნზე. საშუალო მოგება ამის ორჯერ მეტია, 0,11% ბრუნზე, მაგრამ კელი ტიპურ სათამაშო ბიუჯეტზე მიზნობს და არა საშუალოზე, რომელსაც რამდენიმე იღბლიანი სერია ბერავს. ნახევარი კელი ჩვეულებრივი პრაქტიკული არჩევანია, რადგან უპირატესობის შეფასება გაურკვეველია.
ტიპური და საშუალო
სხვაობა ტიპურ და საშუალო სათამაშო ბიუჯეტს შორის დიდია. ავიღოთ უჯრა, რომელიც 25-დან 1-ხელ მოდის, 44%-იანი უპირატესობა – რიცხვი, რომელსაც თორპი თავისი მოწყობილობისთვის ასახელებს. კელი მასზე სათამაშო ბიუჯეტის 1,26%-ს დებს. 1000 ბრუნის შემდეგ ტიპური სათამაშო ბიუჯეტი დაახლოებით 11,5-ჯერ იზრდება, საშუალო კი, რომელსაც რამდენიმე ძალიან იღბლიანი სერია ზევით სწევს, დაახლოებით 249-ჯერ. კელიზე მეტის დადება საშუალოს ზრდის და ტიპურ შედეგს ამცირებს: კელის ორმაგი ფსონით ტიპური სათამაშო ბიუჯეტი მხოლოდ ორმაგდება, კელის ორნახევარჯერადი ფსონით კი მცირდება, თუმცა ყოველ ფსონს კვლავ 44%-იანი უპირატესობა აქვს. ნაკლების დადება ცოტა ჯდება: ნახევარი ფსონი ზრდის დაახლოებით სამ მეოთხედს ინარჩუნებს.
როცა უპირატესობა ვარაუდია
კელი გულისხმობს, რომ უპირატესობა ცნობილია. მაგიდასთან ის ფასდება, და შეფასება ჩვეულებრივ ზედმეტად მაღალია. ეპსტაინის მაგალითი, თორპის 44%-ზე აგებული, არის ნომერი, რომელიც ორმაგი ნულისბორბალინულიერთადერთი მწვანე უჯრა, რომელსაც არცერთი თანაბარი გადახდის, დუჟინის ან სვეტის ფსონი არ ფარავს; კაზინოს უპირატესობის წყარო. სხვაგვარად: ერთი ნული, 0.წაიკითხეთ სრულად → ბორბლის 1225 ბრუნში 49-ჯერ მოვიდა: 25-დან 1-ხელ, 44%-იანი უპირატესობა, კელის ფსონი 1,26%. მაგრამ სამართლიან ორმაგნულიან ბორბალს 38 ნომერი აქვს, და მათგან ყველაზე ხშირი 1225 ბრუნში 49-ს ან მეტს დაახლოებით ცხრიდან ერთხელ აღწევს. ნებისმიერ ჩანაწერში ყველაზე ხშირი ნომერი ისიცაა, რომელსაც იღბალი ყველაზე მეტად დაეხმარა, ამიტომ ნამდვილად მიკერძოებული უჯრაც კი ჩანაწერში უკეთესად გამოიყურება, ვიდრე სინამდვილეშია: ეს „გამარჯვებულის წყევლაა“. თუ ეს უჯრა სინამდვილეში მიკერძოებული არ არის, კელის ფსონი უბრალოდ ფსონია, რომელიც საშუალოდ 5,26%-ს აგებს. ჩვეულებრივი პასუხებია კელის ფსონის მხოლოდ ნაწილის დადება და დათვლის გაგრძელება მანამ, სანამ უპირატესობა ახალ ჩანაწერსაც არ გაუძლებს (იხილეთ „როგორ აღმოვაჩინოთ რულეტკის ბორბლის მიკერძოება“).
ადამიანები უპირატესობით
უპირატესობის ცოდნა იგივე არ არის, რაც მისი კარგად გამოყენება. ჰაგანიმ და დიუიმ (2016) 61 ადამიანს თითოეულს $25 მისცეს, რომ ნახევარი საათის განმავლობაში ფსონები დაედოთ მონეტაზე, რომელზეც უთხრეს, რომ „გერბი“ შემთხვევების 60%-ში მოდიოდა; მოგება $250-ით იყო შეზღუდული (ამ ზღვრის შესახებ მოთამაშეები მხოლოდ მის მიღწევისას იგებდნენ). კელი ამბობს: ყოველ ჯერზე სათამაშო ბიუჯეტის 20% დადეთ „გერბზე“, და ავტორების შეფასებით მუდმივი 10–20%-იანი ფსონები ზღვარს შემთხვევების დაახლოებით 95%-ში მიაღწევდა. მოთამაშეების მხოლოდ 21%-მა მიაღწია მას. 28% გაკოტრდა, 61-დან 18-მა ყველაფერი ერთ აგდებაზე დადო, დაახლოებით მესამედმა თამაში საწყის $25-ზე ნაკლებით დაასრულა, საშუალო გადახდაფულიგადახდარას აბრუნებს მომგებიანი ფსონი, გამოხატული როგორც „X 1-ზე“ დაბრუნებული ფსონის თანხის გარდა.წაიკითხეთ სრულად → კი $91 იყო. 61-დან მხოლოდ ხუთს ჰქონდა გაგონილი კელის კრიტერიუმის შესახებ. უპირატესობის არსებობისას ფსონების ზომა წყვეტს, შეინარჩუნებთ თუ არა მას; მის გარეშე, როგორც სამართლიან ბორბალთან, არცერთი ზომა არ შველის.
რა გამოვიყენოთ მის ნაცვლად
უპირატესობის გარეშე ფსონის ზომა ბიუჯეტის საკითხია და არა ზრდისა: ფსონის თანხა = რისი დახარჯვაც გსურთ ერთ ბრუნზე, საათობრივი ბიუჯეტიდან და მაგიდის ტემპიდან გამოყვანილი (გვერდი „სათამაშო ბიუჯეტის მართვა რულეტკაში“). რიგითი მოთამაშისთვის კელის წვლილი მისი პასუხის სიცხადეა: ნული. ყველაფერი, რასაც ნულის ზემოთ დებთ, თამაშის ფასია, რომელსაც თქვენ ირჩევთ და რომელსაც არცერთი ფორმულა არ ოპტიმიზებს.
შენიშვნა წილობრივ კელისა და „ფულის მართვაზე“
სისტემები, რომლებსაც „კელის რულეტკისთვის“ სახელით ყიდიან და ყოველ ფსონზე სათამაშო ბიუჯეტის ფიქსირებულ პროცენტს გირჩევენ, ფიქსირებული ფსონიასტრატეგიაფიქსირებული ფსონიყოველ ბრუნზე ერთი და იმავე თანხის დადება. საბაზისო ხაზი, რომელსაც ყოველ პროგრესიას ადარებენ.წაიკითხეთ სრულად → კლებადი ფსონის თანხით. ისინი ფსონების ბრუნვისფულიფსონების ბრუნვასესიის ან პერიოდის განმავლობაში ფსონებზე დადებული მთლიანი თანხა, ხელახლა დადებული მოგების ჩათვლით. სხვაგვარად: handle, action.წაიკითხეთ სრულად → 2,70%-ს აგებს და, რადგან ფსონის თანხა წაგებასთან ერთად მცირდება, გაკოტრებას ანელებს და არა ნაკლებად სავარაუდოს ხდის. ეს ბიუჯეტის გაგრძელების გონივრული გზაა; ეს კელი არ არის – კელი გეტყოდათ, რომ შეწყვიტოთ.
ფორმულა
კითხვები
მხოლოდ მიკერძოებული ბორბლისგანლაბორატორიამიკერძოებული ბორბალიბორბალი, რომლის ფიზიკური დეფექტები ზოგ უჯრას 1/37-ზე მეტ ალბათობას ანიჭებს. იშვიათია და მხოლოდ ათასობით ჩაწერილი ბრუნით შეიძლება აღმოჩნდეს.წაიკითხეთ სრულად → ან დროის გამზომი მოწყობილობისგან მიღებული გაზომილი უპირატესობით. სამართლიან ბორბალზე – არა.
იმიტომ, რომ უპირატესობის შეფასებას ცდომილება აქვს, და ზედმეტად დიდი ფსონები ზედმეტად მცირეზე ძვირი ჯდება. ნახევარი კელი ზრდის სამ მეოთხედს იძლევა დისპერსიისმათემატიკადისპერსიასაზომი იმისა, რამდენად ფართოდ არის შედეგები მოსალოდნელი მნიშვნელობის გარშემო გაფანტული. დიდია ერთ ნომერზე ფსონისთვის, მცირე – თანაბარი გადახდის ფსონებისთვის.წაიკითხეთ სრულად → მეოთხედით.
არა. კელი ზრდას ოპტიმიზებს, როცა უპირატესობა არსებობს. სათამაშო ბიუჯეტის მართვა ხარჯს აკონტროლებს, როცა უპირატესობა არ არსებობს.
მათემატიკით გართობა
ჯერ თავად სცადეთ. ყოველი ამოხსნა დაკეცილია; გახსენით, როცა მზად იქნებით.
თორპისა და შენონის პროგნოზირების მოწყობილობა დაახლოებით 44%-იან უპირატესობას იძლეოდა. ერთ პროგნოზირებულ ნომერზე კელის მიხედვით სათამაშო ბიუჯეტისფულისათამაშო ბიუჯეტითამაშისთვის გამოყოფილი მთლიანი თანხა. სათამაშო ბიუჯეტის მართვა ნიშნავს იმის გადაწყვეტას, რა ნაწილს რისკავთ ერთ ფსონზე და ერთ სესიაზე.წაიკითხეთ სრულად → 1,26% უნდა დადოთ. რა მოხდებოდა, თუ იგივე 44%-იანი უპირატესობა ხუთ მეზობელ ნომერზე გადანაწილებულ ერთ ფსონზე იქნებოდა?
ნახეთ ამოხსნა
პასუხი მაშინ კელის მიხედვით სათამაშო ბიუჯეტის 7,1% უნდა დადოთ, და ბიუჯეტი თითქმის ექვსჯერ უფრო სწრაფად იზრდება: 1000 ფსონში დაახლოებით 1,25 მილიონჯერ, ნაცვლად დაახლოებით 11,5-ჯერისა.
ერთ ნომერზე ფსონიფსონიერთ ნომერზე ფსონიერთი ნომერი, იხდის 35:1.წაიკითხეთ სრულად → 44%-იანი უპირატესობით 0,04 შანსით იგებს, რადგან 36 × 0,04 = 1,44. კელის ფსონის თანხა არის უპირატესობა გაყოფილი შანსებზე: 0,44/35 = 1,26%. ტიპური ზრდა ფსონზე არის 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, ასე რომ 1000 ფსონი სათამაშო ბიუჯეტს დაახლოებით e^2,44 ≈ 11,5-ზე ამრავლებს.
ერთი ფსონის თანხა ხუთ ნომერზე გაანაწილეთ, და ფსონი 0,20 შანსით იგებს და იხდის 36/5 1-ის სანაცვლოდ, ანუ 6,2 1-ზე: ისევ 44%-იანი უპირატესობა, რადგან 0,2 × 7,2 = 1,44. კელის ფსონის თანხა ხდება 0,44/6,2 = 7,10%, ზრდა ფსონზე კი – 0,01404, დაახლოებით 5,75-ჯერ მეტი. 1000 ფსონში ეს არის e^14,04, დაახლოებით 1,25 მილიონი.
უპირატესობა იგივეა; რყევები უფრო მცირეა. ფსონს, რომელიც ხუთიდან ერთხელ იგებს, შეუძლია სათამაშო ბიუჯეტის უფრო დიდი წილი ატაროს გაკოტრების რისკის გარეშე, და კელის ზრდა ამას აჯილდოებს. თორპი (1984) ამ მაგალითით აჩვენებს, რატომ დებენ პროგნოზირებით მოთამაშეები ფსონებს სექტორებზებორბალისექტორიბორბალზე ერთმანეთის მომდევნო უჯრების უწყვეტი რკალი – განსხვავებით ფსონების ველზე არსებული ჯგუფისგან.წაიკითხეთ სრულად →. პრაქტიკაში ხუთ მეზობელზეფსონიმეზობლებინომერი და ბორბალზე მის თითო მხარეს მდებარე ორ-ორი უჯრა, ხუთი ჟეტონი ერთ ნომერზე ფსონებად.წაიკითხეთ სრულად → უპირატესობა ოდნავ ნაკლებია, ვიდრე ერთ საუკეთესო ნომერზე (იხ. „უპირატესობით თამაში რულეტკაში“).
მოთამაშემ იპოვა ორი მეზობელი უჯრააღჭურვილობაუჯრაროტორზე 37 დანომრილი განყოფილებიდან ერთ-ერთი. სხვაგვარად: ბუდე, ფიალა.წაიკითხეთ სრულად →, რომელთაგან თითოეული 37-დან 1-ის ნაცვლად 25-დან 1-ჯერ მოდის. სჯობს ფსონი მათ შორის სპლიტზეფსონისპლიტიორი მეზობელი ნომერი, იხდის 17:1.წაიკითხეთ სრულად → დადოს 17 1-ზე, თუ თითოეულ ნომერზე ცალ-ცალკე? რამდენის დადებას ურჩევს კელი და რამდენად სწრაფად იზრდება სათამაშო ბიუჯეტი ერთ ასეთ უჯრასთან შედარებით?
ნახეთ ამოხსნა
პასუხი განსხვავება არ არის: სათამაშო ბიუჯეტის 2,59% სპლიტზე, ან 1,29% თითოეულ ნომერზე. ტიპური სათამაშო ბიუჯეტი 1000 ბრუნში დაახლოებით 155-ჯერ იზრდება, ერთი უჯრით კი – 11,5-ჯერ.
სპლიტი იგებს 2/25 = 0,08 ალბათობითმათემატიკაალბათობაშედეგის შანსი, 0-დან 1-მდე ან 0%-დან 100%-მდე. ერთი ნომერი: 1/37 = 2,70%.წაიკითხეთ სრულად → და იხდის 17 1-ზე, ასე რომ დადებულ ერთეულზეფულიერთეულისაბაზისო ფსონი, რომლითაც სისტემა ან მოთამაშე მუშაობს. პროგრესიები ერთეულებში აღიწერება, რომ ნებისმიერ მაგიდაზე გამოდგეს.წაიკითხეთ სრულად → აბრუნებს 18 × 0,08 = 1,44-ს: უპირატესობა 44%, იგივე, რაც ერთ მიკერძოებულ უჯრაზე. კელის ფსონის თანხა არის უპირატესობა გაყოფილი შანსებზე: 0,44/17 = 2,59%.
ორი ერთ ნომერზე ფსონი, თითო 1,29%, ზუსტად იგივე შედეგს იძლევა. როცა რომელიმე ნომერი მოდის, ერთი ჟეტონიფულიჟეტონინიშანი, რომელიც ფიქსირებულ თანხას წარმოადგენს და ფსონის დასადებად ფსონების ველზე იდება. სხვაგვარად: check.წაიკითხეთ სრულად → იგებს 35 1-ზე, მეორე კი იკარგება, წმინდა შედეგი 34 × 1,29% = სათამაშო ბიუჯეტის 44%, როგორც სპლიტი იხდის; როცა არცერთი არ მოდის, ორივე იკარგება.
ზრდა ბრუნზე არის 0,00505, ერთი უჯრის 0,00244-თან შედარებით, ასე რომ 1000 ბრუნში ტიპური სათამაშო ბიუჯეტი იზრდება e^5,046 ≈ 155-ჯერ და არა e^2,44 ≈ 11,5-ჯერ. ორი კარგი ნომერი ერთის ორმაგზე ბევრად მეტი ღირს, და ამიტომ დებენ მიკერძოებაზე მოთამაშეები ფსონებს ნომრების ჯგუფებზე. თორპი (1984) იმავე შედარებას აკეთებს.
ცოტა იუმორი
რულეტკაზე ზრდისთვის ოპტიმალური ფსონი რიცხვია, რომელიც ყველამ უკვე იცის.
წყაროები
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”