სერიების ალბათობა რულეტკაში
ერთი ფერის გრძელი სერიები ხშირია. მომდევნო ბრუნისთვის ისინი ასევე არაფერს ნიშნავს.
ხუთი წითელი ზედიზედ: 2,7%. ათი: 0,074%. 200-ბრუნიან სესიაში ერთი ფერის ექვსიანი სერია ნახევარზე მეტ შემთხვევაში ჩნდება.
რამდენად ხშირად მოდის წაგებების სერია
თანაბარი გადახდის ფსონი ერთნულიან ბორბალზე 37 ბრუნიდან 19-ში აგებს. ყოველი რიგი აჩვენებს შანსს, რომ ბრუნების მოცემული სერია მთლიანად წაგებით დასრულდება, და რამდენს წააგებს ამ დროისთვის მარტინგეილით მოთამაშე, რომელიც ყოველი წაგების შემდეგ ფსონს აორმაგებს.
| წაგება ზედიზედ | შანსი | დაახლოებით 1 ამდენიდან | აქამდე წაგებული | შემდეგი ფსონი |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1023 | $1024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2047 | $2048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4095 | $4096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8191 | $8192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
შანსი არის 19/37, თავის თავზე გამრავლებული იმდენჯერ, რამდენი წაგებაცაა, ერთი მოცემული ბრუნიდან დათვლილი. გრძელ სესიაში ბევრი ბრუნია, საიდანაც ასეთი სერია შეიძლება დაიწყოს, ამიტომ მთელი საღამოს განმავლობაში ის გაცილებით უფრო სავარაუდოა, ვიდრე ერთი რიგიდან ჩანს.
ერთი სერია
ალბათობამათემატიკაალბათობაშედეგის შანსი, 0-დან 1-მდე ან 0%-დან 100%-მდე. ერთი ნომერი: 1/37 = 2,70%.წაიკითხეთ სრულად →, რომ მომდევნო k ბრუნი სულ წითელიფსონიწითელითანაბარი გადახდის ფსონი 18 წითელ ნომერზე. ფრანგულად: rouge.წაიკითხეთ სრულად → იქნება, არის (18/37)ᵏ. ორი: 23,7%. ხუთი: 2,7%. ათი: 0,074%, დაახლოებით 1350-დან 1. ოცი: 1,8 მილიონიდან 1. ოცდაექვსი, მონტე-კარლოს რეკორდი: 137 მილიონიდან 1. ეს არის კონკრეტული ბრუნიდან დაწყებული კონკრეტული სერიის ალბათობები, ეს კი ის კითხვაა, რომელსაც სინამდვილეში თითქმის არავინ სვამს.
სესიაში
კითხვა, რომელსაც ადამიანები გულისხმობენ, ასეთია: „გამოჩნდება თუ არა k-იანი სერია სადმე ჩემს სესიაში?“, და პასუხი (18/37)ᵏ-ზე გაცილებით დიდია, რადგან 200-ბრუნიანი სესია სერიის დასაწყებად თითქმის 200 ადგილს გვთავაზობს. ერთი და იმავე ფერის, წითლის ან შავისფსონიშავითანაბარი გადახდის ფსონი 18 შავ ნომერზე. ფრანგულად: noir.წაიკითხეთ სრულად →, ექვსიანი ან უფრო გრძელი სერია 200-ბრუნიან სესიაში შემთხვევათა დაახლოებით 94%-ში ჩნდება; რვიანი ან უფრო გრძელი – დაახლოებით 47%-ში; ათიანი ან უფრო გრძელი – დაახლოებით 14%-ში. ფერი წინასწარ დაასახელეთ და შანსები მცირდება, დაახლოებით 75%-მდე, 27%-მდე და 7%-მდე. მოთამაშე, რომელიც მთელ საღამოს მაგიდასთან ზის, ყოველ საღამოს იხილავს გრძელ სერიებს.
რატომ აინტერესებს ეს მარტინგეილს
ყოველ უარყოფით პროგრესიასსტრატეგიაპროგრესიანებისმიერი წესი, რომელიც ფსონის თანხას წინა შედეგების მიხედვით ცვლის. უარყოფითი პროგრესიები მას წაგებების შემდეგ ზრდის, დადებითი – მოგებების შემდეგ.წაიკითხეთ სრულად → აქვს სერიის სიგრძე, რომელიც მას ამსხვრევს: ექვსი წაგება $10-იანი საბაზისო ფსონიდან $500-იანი ლიმიტით, ათი – ფიბონაჩისთვისსტრატეგიაფიბონაჩიპროგრესია, რომელიც მიმდევრობას 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… მიჰყვება: წაგების შემდეგ ერთი ნაბიჯით წინ, მოგების შემდეგ ორი ნაბიჯით უკან.წაიკითხეთ სრულად →, ხუთი – დუჟინებზეფსონიდუჟინი1–12, 13–24 ან 25–36, იხდის 2:1.წაიკითხეთ სრულად → გასამმაგებისთვის. თანაბარ გადახდაზე ექვსიანი წაგების სერიის ალბათობაა (19/37)⁶ ≈ 1,8% თითო ცდაზე, 200-ბრუნიან სესიაში კი დაახლოებით 100 ცდაა, ამიტომ ამ სიგრძის ხუთი სესიიდან დაახლოებით ოთხში ჩამსხვრევა დგება. სერიების ალბათობა რულეტკაში არის მიზეზი, რის გამოც ეს ჩამსხვრევა იშვიათი არ არის.
ცხელი და ცივი ნომრები
იგივე არითმეტიკა ვრცელდება ერთ ნომერზე ფსონებზეფსონიერთ ნომერზე ფსონიერთი ნომერი, იხდის 35:1.წაიკითხეთ სრულად →. 300 ბრუნში ერთ ნომერზე მოსვლების მოსალოდნელი რაოდენობაა 8,1; სტანდარტული გადახრამათემატიკასტანდარტული გადახრადისპერსიიდან კვადრატული ფესვი; შედეგის ტიპური დაშორება მოსალოდნელი მნიშვნელობიდან.წაიკითხეთ სრულად → დაახლოებით 2,8-ია. რომელიმე ნომერი 15-ჯერ მოვა, რომელიმე კი 2-ჯერ, მხოლოდ შემთხვევით, ყოველ ჯერზე. შედეგების დაფა, რომელიც „ცხელ“ ნომრებს გამოყოფს, ნორმალური განაწილების ზედა კიდეს გამოყოფს. ლაბორატორია ხსნის, რამდენი ბრუნია საჭირო, სანამ ცხელი ნომერიმითიცხელი ნომერინომერი, რომელიც ბოლო დროს მოსალოდნელზე ხშირად მოდიოდა. სამართლიან ბორბალზე ის არაფერს წინასწარმეტყველებს.წაიკითხეთ სრულად → რამეს ნიშნავს (ათასობით, ერთი იდენტიფიცირებული ბორბლიდან).
დამოუკიდებლობა – მთელი საქმე ესაა
ათი წითლის სერია შავს უფრო სავარაუდოს არ ხდის და არც წითელს. ორივე 18/37-ია. სერიები შემთხვევითი მიმდევრობების თვისებაა და საეჭვო სწორედ მათი არარსებობა იქნებოდა: 200 ბრუნის მიმდევრობა, რომელშიც არცერთი სერია ოთხზე გრძელი არ არის, მანიპულაციის გაცილებით ძლიერი მტკიცებულება იქნებოდა, ვიდრე მიმდევრობა თორმეტიანი სერიით.
ფორმულა
კითხვები
ცნობილია 26 შავი მონტე-კარლოში 1913 წლის 18 აგვისტოს. 32 წითელი ზედიზედ, ცნობების თანახმად, 1943 წელს ერთ ამერიკულ კაზინოში მოვიდა. ორივე შემთხვევითობას შეესაბამება, თუ გავითვალისწინებთ, რამდენ ბრუნს ატარებენ კაზინოები.
ორივე შემთხვევაში 18/37-ია. დადეთ ის, რასაც თქვენი გეგმა ამბობს, ან არაფერი.
არა. მიკერძოება ვლინდება იმით, რომ ზოგიერთი უჯრააღჭურვილობაუჯრაროტორზე 37 დანომრილი განყოფილებიდან ერთ-ერთი. სხვაგვარად: ბუდე, ფიალა.წაიკითხეთ სრულად → ათასობით ბრუნზე უფრო ხშირად მოდის, და არა ფერის სერიებით.
მათემატიკით გართობა
ჯერ თავად სცადეთ. ყოველი ამოხსნა დაკეცილია; გახსენით, როცა მზად იქნებით.
საშუალოდ რამდენი ბრუნი სჭირდება ევროპულ ბორბალს, სანამ 37-ვე ნომერი ერთხელ მაინც მოვა?
ნახეთ ამოხსნა
პასუხი საშუალოდ დაახლოებით 155 ბრუნი; მედიანა 147-ია.
ლოდინი თითო ახალ ნომერზე დათვალეთ. პირველი ბრუნი ყოველთვის ახალ ნომერს აჩვენებს. როცა 1 ნომერი უკვე ნახეთ, 37-დან 36 უჯრააღჭურვილობაუჯრაროტორზე 37 დანომრილი განყოფილებიდან ერთ-ერთი. სხვაგვარად: ბუდე, ფიალა.წაიკითხეთ სრულად → ახალია, ასე რომ შემდეგ ახალ ნომერს საშუალოდ 37/36 ბრუნი სჭირდება. როცა k ნომერი ნახეთ – 37/(37 − k).
შეკრიბეთ ლოდინები: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 ბრუნი.
ამის უმეტესი ნაწილი ბოლოზე მოდის. მხოლოდ ბოლო ნომერს საშუალოდ 37 ბრუნი სჭირდება, ბოლო ხუთს კი – დაახლოებით 85. ამერიკულ ბორბალზე იგივე ჯამი დაახლოებით 161-ს იძლევა. ეს კუპონების შემგროვებლის ამოცანაა; იგივე საშუალო სტანდარტული გამოთვლიდანაც გამომდინარეობს.
ევროპული ბორბლის 37 ბრუნში, თითო ბრუნი თითო უჯრაზე, რამდენი სხვადასხვა ნომრის ნახვას უნდა ელოდოთ?
ნახეთ ამოხსნა
პასუხი დაახლოებით 23,6-ის. ნომრების დაახლოებით მესამედი, დაახლოებით 13, საერთოდ არ მოდის.
აიღეთ ერთი ნომერი, ვთქვათ, 17. ყოველ ბრუნზე ის არ მოდის 36/37 შანსით, ასე რომ 37-ვე ბრუნში არ მოვა (36/37)³⁷ ≈ 0,363 შანსით.
ყოველ ნომერს იგივე შანსი აქვს, ამიტომ საშუალოდ 37 × 0,363 ≈ 13,4 ნომერი აკლია, 37 − 13,4 ≈ 23,6 კი მოდის, ბევრი მათგანი ორჯერ ან მეტჯერ.
რულეტკის მოთამაშეები ამას მესამედების კანონს უწოდებენ. ეს კანონი კი არა, მხოლოდ გამეორებების არითმეტიკაა: იმდენ ბრუნში, რამდენი უჯრაცაა ბორბალზე, ნომრების დაახლოებით მესამედი არ მოდის, სამართლიან ბორბალზეც ისევე, როგორც ნებისმიერ სხვაზე. 38 უჯრაზე წილი ასევე (37/38)³⁸ ≈ 0,363-ია; დიდი ბორბლისთვის ის 1/e ≈ 0,368-ს უახლოვდება.
მეგობარი 50 ფერის ორ სიას გაჩვენებთ, წითელიფსონიწითელითანაბარი გადახდის ფსონი 18 წითელ ნომერზე. ფრანგულად: rouge.წაიკითხეთ სრულად → ან შავიფსონიშავითანაბარი გადახდის ფსონი 18 შავ ნომერზე. ფრანგულად: noir.წაიკითხეთ სრულად →, და ამბობს, რომ თითოეული ბორბლიდანაა, ნულებისბორბალინულიერთადერთი მწვანე უჯრა, რომელსაც არცერთი თანაბარი გადახდის, დუჟინის ან სვეტის ფსონი არ ფარავს; კაზინოს უპირატესობის წყარო. სხვაგვარად: ერთი ნული, 0.წაიკითხეთ სრულად → გამოტოვებით. ერთში ფერი 25-ჯერ იცვლება და მისი ყველაზე გრძელი სერია ექვსია. მეორეში ფერი 35-ჯერ იცვლება და სერია სამს არასოდეს აღემატება. რომელია მოგონილი?
ნახეთ ამოხსნა
პასუხი მეორე. ნამდვილ სიაში ფერი დაახლოებით 24-ჯერ ან 25-ჯერ იცვლება. 35 ცვლილებიანი სია დაახლოებით 500 სიიდან ერთხელ გვხვდება, სია, რომელშიც სამზე გრძელი სერია არ არის, კი – დაახლოებით 100-დან ორჯერ.
ყოველი ახალი ფერი ან წინას იმეორებს, ან იცვლება, ნახევარ-ნახევარზე, ასე რომ ცვლილების 49 შესაძლებლობა საშუალოდ 24,5 ცვლილებას იძლევა, პლიუს-მინუს დაახლოებით 3,5. ოცდათხუთმეტი საშუალოზე ასეთი სამი ნაბიჯით მაღლაა; სამართლიანი ბორბალი ამდენ ცვლილებას დაახლოებით 500 სიიდან ერთხელ იძლევა.
სერიებიც იმავეს ამბობს. 50 ფერის ნამდვილ სიაში ოთხის ან მეტის სერია შემთხვევათა დაახლოებით 98%-შია, ყველაზე გრძელი სერია კი ყველაზე ხშირად ხუთი ან ექვსია.
ადამიანები, რომლებსაც შემთხვევითი სიის მოგონებას სთხოვენ, ფერს ზედმეტად ხშირად ცვლიან, რადგან ოთხის ან ხუთის სერია მათ კანონზომიერებად ეჩვენებათ. ტეილორი (2021) იმავე ნიშანს აჩვენებს სტუდენტების მიერ მოგონილ მონეტის აგდებების სიებში: ნამდვილი შემთხვევითობა უფრო სერიულია, ვიდრე ადამიანები ელიან.
კაზინოს ამბების ერთ წიგნში მოთხრობილია მოთამაშეზე, რომლის ნომერიც ზედიზედ ხუთჯერ მოვიდა, და ეს რეკორდადაა მოხსენიებული. რამდენად იშვიათია ეს ევროპულ ბორბალზე? და რამდენად ხშირად უნდა მოხდეს ეს სადმე ერთ კაზინოში, სადაც 20 მაგიდაა და თითოეულზე საათში 40-ჯერ ატრიალებენ, დღე და ღამე?
ნახეთ ამოხსნა
პასუხი წინასწარ დასახელებული ნომერი ზედიზედ ხუთჯერ: 69 მილიონში 1. ნებისმიერი ნომერი, რომელიც პირველი გამოჩენის შემდეგ კიდევ ოთხჯერ მოდის: 1,87 მილიონში 1. ეს კაზინო წელიწადში დაახლოებით 7 მილიონ ბრუნს აკეთებს, ასე რომ ხუთის სერია წელიწადში სამ-ოთხჯერ უნდა ნახოს.
დასახელებული ნომერი ყოველ ბრუნზე 1/37 შანსით მოდის, ასე რომ ზედიზედ ხუთის შანსია (1/37)⁵ = 69 343 957-ში 1. მაგრამ ნომერს წინასწარ არავინ ასახელებს. რაც არ უნდა მოვიდეს პირველად, მომდევნო ოთხმა ბრუნმა ის უნდა გაიმეოროს: (1/37)⁴ = 1 874 161-ში 1.
20 მაგიდა × 40 ბრუნი × 24 საათი × 365 დღე = 7 008 000 ბრუნი წელიწადში. ყოველ ბრუნს შეუძლია სერია დაიწყოს, ამიტომ კაზინოში წელიწადში მოსალოდნელია 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 ხუთის სერია.
ამ სახის ოფიციალური რეკორდი არ არსებობს და არც არის საჭირო: ერთ მაგიდაზე იშვიათი მოვლენა მთელ კაზინოში ჩვეულებრივია, ამბებს კი იმ მაგიდაზე ყვებიან, სადაც ეს მოხდა. ამბავი, გოლდმანთან (2007), ორმაგნულიან ბორბალზე ხდება, სადაც რიცხვებია 79 მილიონში 1 და 2,09 მილიონში 1.
ცოტა იუმორი
გრძელი სერიები – აი, როგორ გამოიყურება შემთხვევითობა.
წყაროები
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.