ხი-კვადრატ ტესტი
სტანდარტული ტესტი კითხვისთვის: „არის თუ არა ეს 37 რიცხვი ის, რასაც სამართლიანი ბორბალი მისცემდა?“
χ² = Σ (დაკვირვებული − მოსალოდნელი)² / მოსალოდნელი ყველა 37 უჯრაზე. p-მნიშვნელობის მისაღებად შეადარეთ ხი-კვადრატ განაწილებას 36 თავისუფლების ხარისხით.
გამოთვლა
მოსალოდნელი რაოდენობა თითოეულ უჯრაშიაღჭურვილობაუჯრაროტორზე 37 დანომრილი განყოფილებიდან ერთ-ერთი. სხვაგვარად: ბუდე, ფიალა.წაიკითხეთ სრულად → n/37-ია. თითოეული უჯრისთვის დაკვირვებულსა და მოსალოდნელს შორის სხვაობა აიყვანეთ კვადრატში და გაყავით მოსალოდნელზე; შემდეგ 37 წევრი შეკრიბეთ. სამართლიანი ბორბალი საშუალოდ დაახლოებით 36-ის ტოლ მნიშვნელობებს იძლევა (თავისუფლების ხარისხებილაბორატორიათავისუფლების ხარისხებისტატისტიკაში დამოუკიდებელი მნიშვნელობების რაოდენობა. 37 უჯრაზე ხი-კვადრატ ტესტისთვის ის 36-ია, რადგან რაოდენობების ჯამი საერთო რაოდენობას უნდა უდრიდეს.წაიკითხეთ სრულად →), დაახლოებით 8,5 სტანდარტული გადახრითმათემატიკასტანდარტული გადახრადისპერსიიდან კვადრატული ფესვი; შედეგის ტიპური დაშორება მოსალოდნელი მნიშვნელობიდან.წაიკითხეთ სრულად →. 51,0-ზე მეტი მნიშვნელოვანია 5%-იან დონეზე; 58,6-ზე მეტი – 1%-იან დონეზე. რულეტკის ბორბლის მიკერძოების ანალიზატორი სტატისტიკასა და ზუსტ p-მნიშვნელობასლაბორატორიაp-მნიშვნელობაალბათობა იმისა, რომ ბორბალი სამართლიანი რომ ყოფილიყო, დავინახავდით გადახრას, რომელიც დაკვირვებულზე სულ მცირე იმხელაა.წაიკითხეთ სრულად → რეგულარიზებული არასრული გამა-ფუნქციით ითვლის.
გარჩეული მაგალითი
1000 ბრუნი. ოცდათექვსმეტ უჯრაში 20-დან 34-მდე მოხვედრაა; მე-8 უჯრაში – 41. მოსალოდნელია 27,03. მხოლოდ მე-8 უჯრის წევრი არის (41 − 27,03)²/27,03 = 7,2. დავუშვათ, დანარჩენი 36 წევრის ჯამი 38-ია (ტიპური). χ² = 45,2 (36 df), p ≈ 0,14. მნიშვნელოვანი არ არის: სამართლიანი ბორბალი ამას შვიდში ერთხელ აკეთებს. მე-8 უჯრა კანდიდატია და არა აღმოჩენა, პასუხი კი კიდევ ათასი ბრუნია.
დაშვებები
დამოუკიდებელი ბრუნებიმათემატიკადამოუკიდებელი ბრუნებიყოველ ბრუნს ერთი და იგივე ალბათობები აქვს, ისტორიის მიუხედავად. ამ საიტის ყოველი გამოთვლის საფუძველი.წაიკითხეთ სრულად → და მოსალოდნელი რაოდენობა სულ მცირე 5 თითოეულ უჯრაში, რაც ნიშნავს, რომ n ≥ 185 საჭიროა, რომ ტესტი საერთოდ მართებული იყოს, და გაცილებით მეტი, რომ სასარგებლო იყოს. სხვადასხვა ბორბლის ბრუნების გაერთიანება პირველ დაშვებას არსით არღვევს (ამოწმებთ ნარევს და არა ბორბალს). დილერის ხელწერის ეფექტი მას ფაქტობრივად დაარღვევდა და χ²-ს გაზრდიდა, ისე რომ არცერთი უჯრა ფიზიკურად უპირატესი არ იქნებოდა.
პირსონი და მონტე-კარლო
კარლ პირსონმა ტესტი 1900 წელს გამოაქვეყნა და მისი ერთ-ერთი პირველი გარჩეული მაგალითი მონტე-კარლოს რულეტკის 26 306 ჩაწერილი ბრუნი იყო, რომლებიც მან შემთხვევითობისთვის ზედმეტად არათანაბრად მიიჩნია და განაცხადა, რომ „მონტე-კარლოს რულეტკა… არ არის შემთხვევითობის თამაში“. მოგვიანებით ავტორებმა დაასკვნეს, რომ ჟურნალისტებმა, რომლებიც ბრუნებს გაზეთისთვის იწერდნენ, მათი დიდი ნაწილი მოიგონეს, რაც თავისთავად გაკვეთილია მონაცემების წარმომავლობის შესახებ.
პირსონი აქვეყნებს ხი-კვადრატ თანხმობის ტესტს, მაგალითად მონტე-კარლოს ბრუნებით.
ბრუნების მონაცემები ეჭვქვეშ დგება; როგორც ჩანს, ჩამწერებმა სერიები გააყალბეს.
ფიშერი თავისუფლების ხარისხებს აფორმებს; 5%-იანი შეთანხმება მკვიდრდება.
სტატისტიკოსები რულეტკის ბრუნებს თანაბრობის ტესტების სახელმძღვანელო მონაცემებად იყენებენ.
გარსია-პელაიოების ოჯახი მეთოდს რეალურ ჩაწერილ მონაცემებზე იყენებს და მადრიდში იგებს.
კაზინოები იმავე ტესტს საკუთარ ბორბლებზე რუტინული ტექნიკური მომსახურების ფარგლებში ატარებენ.
რეალური ტესტი: ავტომატური ბორბლები ლას-ვეგასში
მოთამაშეებს ხშირად ეჭვი აქვთ, რომ ავტომატური ბორბალი ბურთულასაღჭურვილობაბურთულაპატარა ბურთულა, რომელსაც ბილიკზე როტორის საწინააღმდეგოდ უშვებენ. თანამედროვე ბურთულები ივორინისაა ან ტეფლონის, 18–21 მმ.წაიკითხეთ სრულად → დიდი ფსონებისგან არიდებს. 2017 წლის ერთმა ანალიზმა ეს ეჭვი შეამოწმა ლას-ვეგასში, Interblock-ის ორმაგი ნულისბორბალინულიერთადერთი მწვანე უჯრა, რომელსაც არცერთი თანაბარი გადახდის, დუჟინის ან სვეტის ფსონი არ ფარავს; კაზინოს უპირატესობის წყარო. სხვაგვარად: ერთი ნული, 0.წაიკითხეთ სრულად → მქონე უდილერო ბორბლებზე, ფსონით ხუთი მეზობელი ნომრის რკალზე – ისეთი ფსონით, როგორსაც ბორბლის გამზომავი („wheel clocker“) დებს. 299 ბრუნში რკალმა 29-ჯერ მოიგო მოსალოდნელი 39,3-ის ნაცვლად – დანაკლისი, რომელსაც სამართლიანი ბორბალი შემთხვევების დაახლოებით 4%-ში იძლევა. ხი-კვადრატი ყველა 38 უჯრაზე 37 თავისუფლების ხარისხით 45,29 იყო: p = 16,5%. 1204 ბრუნის მეორე შერჩევამ სამ ბორბალზე მისცა χ² = 34,79, p = 57%, და ავტორის მიერ შემოწმებული არცერთი ზომის რკალი მნიშვნელოვანი არ აღმოჩნდა. ორივე შერჩევამ ერთად, 1503 ბრუნმა, მისცა χ² = 41,75, p = 27%. დასკვნა: იმის მტკიცებულება, რომ ბორბალი ბურთულას მართავს, არ არის. პირველი შერჩევა ცალკე საეჭვოდ გამოიყურებოდა; საკითხი მეორემ გადაწყვიტა.
ხი-კვადრატის მიღმა
ერთი საეჭვო უჯრისთვის ბინომიალური ტესტი უფრო მძლავრია. საეჭვო რკალისთვის – სექტორისბორბალისექტორიბორბალზე ერთმანეთის მომდევნო უჯრების უწყვეტი რკალი – განსხვავებით ფსონების ველზე არსებული ჯგუფისგან.წაიკითხეთ სრულად → z-ტესტი გვერდზე „სექტორული ანალიზი“. ხი-კვადრატი საერთო ტესტია: გეუბნებათ, რომ რაღაც რიგზე არ არის, ისე რომ არ ამბობს, რა. ჯერ ის გამოიყენეთ, შემდეგ კი დააკვირდით.
ფორმულა
კითხვები
37 რაოდენობის ჯამი n-ის ტოლი უნდა იყოს, ამიტომ თავისუფლად ცვლა მხოლოდ 36-ს შეუძლია.
ბორბალი, რომლის ერთ უჯრაში მოხვედრის სიხშირე 1/25-ია, 10 000 ბრუნში მხოლოდ ამ უჯრის წევრად დაახლოებით 70-ს მისცემდა; χ² 100-ზე გაცილებით მეტი იქნებოდა, p კი პრაქტიკულად ნული.
ტექნიკურად – დიახ, მოსალოდნელი 5,4 თითო უჯრაზე. ის ვერაფერს აღმოაჩენს, გარდა ბორბლისა, რომლის რომელიმე უჯრა წებოთია დახურული.
ცოტა იუმორი
შეკრიბეთ გაკვირვებების კვადრატები. შეადარეთ 51,0-ს.
წყაროები
- Pearson, K. “On the criterion that a given system of deviations from the probable…”
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Organic Roulette Experiment.”