ამოცანა: დაბადების დღის ბორბალი
რამდენი ბრუნის შემდეგ გამეორდება რომელიმე ნომერი? ბევრად ნაკლების, ვიდრე ადამიანების უმეტესობა ვარაუდობს.
დაბადების დღეების ამოცანა 37-უჯრიანაღჭურვილობაუჯრაროტორზე 37 დანომრილი განყოფილებიდან ერთ-ერთი. სხვაგვარად: ბუდე, ფიალა.წაიკითხეთ სრულად → ბორბალზე: სულ 8 ბრუნის შემდეგ ნახევარზე მეტი შანსია, რომ რომელიმე ნომერი უკვე ორჯერ მოვიდა. მოთამაშეები გამეორებებს კანონზომიერებად აღიქვამენ; სინამდვილეში ეს სამართლიანი ბორბლის მოსალოდნელი ქცევაა.
ამოცანა
ატრიალეთ სამართლიანი ევროპული ბორბალი. რამდენი ბრუნის შემდეგ გადააჭარბებს ნახევარს იმის ალბათობამათემატიკაალბათობაშედეგის შანსი, 0-დან 1-მდე ან 0%-დან 100%-მდე. ერთი ნომერი: 1/37 = 2,70%.წაიკითხეთ სრულად →, რომ ორ ბრუნს მაინც ერთი და იგივე ნომერი ჰქონდა? მოთამაშეების უმეტესობა სადღაც 18-ს ან 19-ს ვარაუდობს, 37-ის ნახევარს. პასუხია 8.
ამოხსნა
გამოთვალეთ, რა არის ალბათობა, რომ გამეორება არ ყოფილა, და ერთს გამოაკელით. k ბრუნის შემდეგ p(ყველა განსხვავებულია) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). k = 8-ისთვის: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, ამიტომ p(რომელიმე გამეორება) ≈ 0,56. k = 14-ისთვის ის 0,93-ია; k = 20-ისთვის – 0,996. ინტუიცია ცდება, რადგან ბრუნების წყვილების რაოდენობა k²-ის კვალობაზე იზრდება, და ნებისმიერი წყვილი შეიძლება დაემთხვეს.
რატომ არის ეს მნიშვნელოვანი მაგიდასთან
ბოლო 20 ნომრის შედეგების დაფაზე თითქმის ყოველთვის ერთი გამეორება მაინც ჩანს, ხშირად ორი ან სამი. მოთამაშეები ხედავენ, რომ „17 ათ ბრუნში ორჯერ მოვიდა“, და ასკვნიან, რომ 17 ცხელია; დაბადების დღეების არითმეტიკა ამბობს, რომ ათი ბრუნის ფარგლებში გამეორება შემთხვევების 74%-ში ხდება, გამეორებული ნომერი კი შემთხვევითია. კანონზომიერება ნამდვილია; მისი მნიშვნელობა – არა.
შემდეგი ამოცანა
რამდენი ბრუნია საჭირო, რომ კონკრეტული ნომერი, ვთქვათ, 17, ორჯერ მოვიდეს? ეს სხვა კითხვაა, ბევრად დიდი პასუხით: მოსალოდნელი ლოდინი 74 ბრუნია, ხოლო 20 ბრუნში ორი 17-ის ალბათობა დაახლოებით 10%. სხვაობა „რომელიმე ნომერი მეორდება“-სა (8 ბრუნი) და „ეს ნომერი მეორდება“-ს (74 ბრუნი) შორის არის მთელი სხვაობა კანონზომიერებას, რომელსაც შემდეგ ამჩნევთ, და პროგნოზს შორის, რომელსაც წინასწარ აკეთებთ.
სცადეთ
გაუშვით „რულეტკის სიმულატორი“ ათი ბრუნით და ისტორიას შეხედეთ. ჩვეულებრივ გამეორება იქნება. კვლავ გაუშვით. გამეორებული ნომერი სხვა იქნება. ეს ათჯერ გააკეთეთ და დაბადების დღეების ამოცანამათემატიკადაბადების დღეების ამოცანარამდენი ადამიანია საჭირო, რომ ორს, სავარაუდოდ, ერთი დაბადების დღე ჰქონდეს, ან რამდენი ბრუნია საჭირო, რომ ნომერი, სავარაუდოდ, განმეორდეს. 37-უჯრიან ბორბალზე 8 ბრუნი საკმარისია, რომ შანსი ნახევარზე მეტი იყოს.წაიკითხეთ სრულად → გინახავთ; ათასჯერ გააკეთეთ (სიმულატორებს ეს შეუძლია) და ის გაზომილი გაქვთ.
ფორმულა
კითხვები
ზუსტად, ოღონდ 365 დღის ნაცვლად 37 უჯრით. დაბადების დღეებისთვის 23 ადამიანი 50%-ს იძლევა; ბორბლისთვის 8 ბრუნი – 56%-ს.
50% დაახლოებით 19 ბრუნის შემდეგ. ესეც ჩვეულებრივი ამბავია.
არა. ერთი ბორბლის ათასობით ბრუნი შეიძლება მიუთითებდეს; გამეორება – არასოდეს.
მათემატიკით გართობა
ჯერ თავად სცადეთ. ყოველი ამოხსნა დაკეცილია; გახსენით, როცა მზად იქნებით.
ამერიკული ბორბლის გვერდით შედეგების დაფა ბოლო 16 ბრუნს აჩვენებს. რამდენად სავარაუდოა, რომ მასზე არცერთი ნომერი ორჯერ არ ჩანს?
ნახეთ ამოხსნა
პასუხი დაახლოებით 2,5%: დაახლოებით 40 დაფიდან 39 ერთ გამეორებას მაინც აჩვენებს.
იარეთ ბრუნიდან ბრუნამდე. პირველი ბრუნი ნებისმიერი შეიძლება იყოს. მეორემ ის უნდა აიცილოს: 38-დან 37 შანსი. მესამემ – ორივე: 38-დან 36. მეთექვსმეტემ – თხუთმეტი ნომერი: 38-დან 23.
გადაამრავლეთ: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
დაფა გამეორების გარეშე იშვიათია. დაფა გამეორებით ბორბალზე არაფერს ამბობს.
ევროპული ბორბლის ათ ბრუნში რა შანსია, რომ 17 ზუსტად ხუთჯერ მოვა? რომ რომელიმე ნომერი, ნებისმიერი, ხუთჯერ ან მეტჯერ მოვა? და რომ რომელიმე ნომერი ოთხ ბრუნში მინიმუმ სამჯერ მოვა?
ნახეთ ამოხსნა
პასუხი 17 ზუსტად ხუთჯერ: 315 576-დან 1. რომელიმე ნომერი ხუთჯერ ან მეტჯერ: დაახლოებით 8333-დან 1. რომელიმე ნომერი ოთხ ბრუნში სამჯერ ან მეტჯერ: 349-დან 1.
17 ხუთჯერ: აირჩიეთ, ათი ბრუნიდან რომელი ხუთი, 252 გზა, თითოეული შანსით (1/37)⁵ × (36/37)⁵. ერთად 315 576-დან 1.
რომელიმე ნომერი: 37 ნომრიდან თითოეულს ხუთი ან მეტი მოხვედრის 308 325-დან 1 შანსი აქვს, რაც 308 325-დან 37-ს იძლევა, ანუ 8333-დან 1. ორი ნომრის იშვიათი შემთხვევა, თითოეულს ხუთი მოხვედრით, ორჯერ ითვლება, მაგრამ მისი გამორიცხვა ამ სიზუსტით არაფერს ცვლის.
სამჯერ ოთხ ბრუნში: ერთი ნომრისთვის 4 × 36 + 1 = 145 შედეგი 37⁴ შესაძლოდან; 37 ნომრიდან ნებისმიერისთვის 145/37³ = 349-დან 1.
ორმაგი ნულისბორბალინულიერთადერთი მწვანე უჯრა, რომელსაც არცერთი თანაბარი გადახდის, დუჟინის ან სვეტის ფსონი არ ფარავს; კაზინოს უპირატესობის წყარო. სხვაგვარად: ერთი ნული, 0.წაიკითხეთ სრულად → მქონე ბორბლისთვის შესაბამისი რიცხვებია 359 275-დან 1, 9243-დან 1 და 368-დან 1. სხვაობა „17“-სა და „რომელიმე ნომერს“ შორის ისევ დაბადების დღეების ამოცანაამათემატიკადაბადების დღეების ამოცანარამდენი ადამიანია საჭირო, რომ ორს, სავარაუდოდ, ერთი დაბადების დღე ჰქონდეს, ან რამდენი ბრუნია საჭირო, რომ ნომერი, სავარაუდოდ, განმეორდეს. 37-უჯრიან ბორბალზე 8 ბრუნი საკმარისია, რომ შანსი ნახევარზე მეტი იყოს.წაიკითხეთ სრულად →: გაკვირვების 37 გზა არსებობს.
ცოტა იუმორი
რაღაც ადრე მეორდება. ეს რაღაც შემთხვევითია.
წყაროები
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. „Ask the Wizard“, კითხვები რულეტკის შესახებ.